Калькулятор суммы (сигма-нотация)

Введите расчет

Функция f(i) i (сумма i) i² (сумма квадратов) i³ (сумма кубов) 1/i (гармонический ряд) 1 (число слагаемых)

Нижний предел (a)

Верхний предел (b)

Результатов

Результат суммирования

55

Σ f(i)

Число слагаемых	10

Что такое калькулятор суммы?

Калькулятор суммы вычисляет выражения, записанные в сигма-нотации — это компактная математическая запись для сложения последовательности слагаемых. Знак Σ (заглавная греческая буква «сигма») означает, что нужно сложить значения функции \(f(i)\) для каждого целого \(i\), начиная с нижнего предела a и заканчивая верхним пределом b включительно. Этот инструмент работает с несколькими самыми распространёнными функциями: \(f(i) = i\), \(i^{2}\), \(i^{3}\), \(1/i\) (гармонический ряд) и константой \(1\).

Как пользоваться

Выберите функцию \(f(i)\), которую хотите просуммировать, затем введите нижний предел (\(a\)) и верхний предел (\(b\)). Калькулятор последовательно перебирает значения от \(i = a\) до \(i = b\), вычисляет \(f(i)\) на каждом шаге и складывает результаты. Также он показывает, сколько слагаемых было сложено, — это удобно, чтобы проверить, правильно ли задан диапазон.

Разбор формулы

Сигма-нотация раскрывается так: $$\sum_{i=\text{a}}^{\text{b}} f(i) = f(a) + f(a+1) + \ldots + f(b).$$ Например, \(\sum_{i=1}^{4} i\) означает \(1 + 2 + 3 + 4\). У многих сумм есть удобные замкнутые формулы: сумма первых \(n\) натуральных чисел равна \(\frac{n(n+1)}{2}\), а сумма квадратов — \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Но этот калькулятор работает для любого диапазона целых чисел, включая отрицательные начальные значения.

Реклама

Части обозначения суммы (сигма): индекс \(i\) начинается с нижнего предела \(a\) и идёт до верхнего предела \(b\), складывая каждое слагаемое \(f(i)\).

Пример с решением

Допустим, нужно найти \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\). Вычислим каждое слагаемое: $$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.$$ Замкнутая формула это подтверждает: $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55.$$ Всего в сумме \(5\) слагаемых.

Сумма просто складывает каждое слагаемое по очереди, от первого значения до последнего, давая итоговый результат.

Частые вопросы

Что означает \(i\) в сигма-нотации? Это индекс суммирования — счётчик, который увеличивается на \(1\) от нижнего предела до верхнего.

Может ли нижний предел быть больше верхнего? По общепринятому соглашению пустая сумма (когда \(a > b\)) равна \(0\) — именно это и возвращает калькулятор.

Учитываются ли оба предела? Да. Сигма-нотация включает и \(a\), и \(b\), поэтому \(\sum_{i=2}^{4} i\) суммирует \(i=2, 3\) и \(4\).