¿Qué es la inversa de una matriz?
La inversa de una matriz cuadrada A, escrita como \(A^{-1}\), es la matriz que cumple \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\), donde \(I\) es la matriz identidad. La inversa solo existe cuando la matriz es no singular, es decir, cuando su determinante es distinto de cero. Esta calculadora obtiene el determinante y la inversa de cualquier matriz 2×2 o 3×3.
Cómo usar esta calculadora
Elige si tu matriz es 2×2 o 3×3 y luego escribe cada valor en las casillas correspondientes (a11 es el elemento superior izquierdo, a23 es la fila 2 columna 3, y así sucesivamente). En una matriz 2×2 solo se usan las cuatro casillas de la esquina superior izquierda. Pulsa calcular para ver el determinante y, si es distinto de cero, la matriz inversa completa.
La fórmula explicada
La inversa se calcula como \(A^{-1} = \operatorname{adj}(A) / \det(A)\). La adjunta, \(\operatorname{adj}(A)\), es la transpuesta de la matriz de cofactores. Cada cofactor es un menor con signo de la matriz original. Al dividir la adjunta entre el determinante se reescala de modo que el producto con A da la identidad. Si \(\det(A) = 0\), la división no está definida y la matriz no tiene inversa: se denomina singular.
$$\begin{gathered} A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A) \\[1.5em] \det A = a_{11}\!\left(a_{22}\,a_{33} - a_{23}\,a_{32}\right) - a_{12}\!\left(a_{21}\,a_{33} - a_{23}\,a_{31}\right) + a_{13}\!\left(a_{21}\,a_{32} - a_{22}\,a_{31}\right) \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz 2×2 \([[4, 7], [2, 6]]\). El determinante es \(4\cdot 6 - 7\cdot 2 = 24 - 14 = 10\). La inversa es
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}$$Puedes comprobarlo multiplicando: el resultado es la matriz identidad.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi matriz no es invertible? Porque su determinante es cero. Las matrices singulares proyectan el espacio sobre una dimensión menor, así que la operación no se puede revertir.
¿Importa el orden de las filas? Sí: a11, a12, a21 y a22 ocupan cada una una posición fija, así que introduce los valores exactamente como aparecen en tu matriz.
¿Puede trabajar con matrices más grandes? Esta herramienta admite matrices 2×2 y 3×3. Los sistemas más grandes suelen resolverse mediante eliminación gaussiana o con software como NumPy.
