Qu'est-ce que la matrice inverse ?
L'inverse d'une matrice carrée A, notée \(A^{-1}\), est la matrice qui vérifie \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\), où \(I\) désigne la matrice identité. Cet inverse n'existe que lorsque la matrice est non singulière, c'est-à-dire lorsque son déterminant est différent de zéro. Cette calculatrice détermine le déterminant et l'inverse de n'importe quelle matrice 2×2 ou 3×3.
Comment utiliser cette calculatrice
Indiquez d'abord si votre matrice est de taille 2×2 ou 3×3, puis saisissez chaque coefficient dans les cases correspondantes (\(a_{11}\) est l'élément en haut à gauche, \(a_{23}\) celui de la ligne 2 et de la colonne 3, et ainsi de suite). Pour une matrice 2×2, seules les quatre cases situées en haut à gauche sont prises en compte. Lancez le calcul pour afficher le déterminant et, s'il est non nul, la matrice inverse complète.
La formule expliquée
L'inverse se calcule selon la relation
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$L'adjointe, \(\operatorname{adj}(A)\), correspond à la transposée de la matrice des cofacteurs. Chaque cofacteur est un mineur signé de la matrice de départ. En divisant l'adjointe par le déterminant, on la met à l'échelle pour que son produit avec A donne la matrice identité. Si \(\det A = 0\), la division n'est pas définie et la matrice n'admet pas d'inverse : on dit alors qu'elle est singulière.
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} \quad \text{where} \quad \det A = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}$$
Exemple résolu
Prenons la matrice 2×2 \([[4, 7], [2, 6]]\). Son déterminant vaut
$$4\cdot 6 - 7\cdot 2 = 24 - 14 = 10$$L'inverse est donc
$$\frac{1}{10}\cdot\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}$$Vous pouvez le vérifier par multiplication : le résultat obtenu est bien la matrice identité.
FAQ
Pourquoi ma matrice n'est-elle pas inversible ? Parce que son déterminant est nul. Une matrice singulière projette l'espace sur une dimension inférieure : l'opération ne peut donc pas être inversée.
L'ordre des lignes a-t-il une importance ? Oui. Les coefficients \(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{21}\) et \(a_{22}\) occupent chacun une position fixe : saisissez donc les valeurs exactement telles qu'elles apparaissent dans votre matrice.
Peut-elle traiter des matrices plus grandes ? Cet outil gère uniquement les matrices 2×2 et 3×3. Les systèmes de plus grande taille se résolvent généralement par l'élimination de Gauss ou à l'aide de logiciels comme NumPy.
