Calculateur de division euclidienne de polynômes

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Formule

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Quotient Q(x)

x^2 - x - 2

Remainder R(x) = 1

Quotient Q(x)	x^2 - x - 2
Reste R(x)	1
Identité	P(x) = D(x)·Q(x) + R(x)

Qu'est-ce que la division euclidienne des polynômes ?

La division euclidienne des polynômes est l'équivalent algébrique de la division posée que l'on apprend avec les nombres entiers. À partir d'un polynôme dividende $P(x)$ et d'un polynôme diviseur $D(x)$, elle fournit un quotient $Q(x)$ et un reste $R(x)$ qui vérifient l'identité $P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)$, le degré de $R(x)$ étant strictement inférieur à celui de $D(x)$. Ce calculateur traite des dividendes et des diviseurs de n'importe quel degré.

Schéma de l'identité de la division de polynômes montrant que le dividende égale le diviseur fois le quotient plus le reste — La division de polynômes exprime $P(x)$ sous la forme $D(x)\cdot Q(x) + R(x)$.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les coefficients de chaque polynôme, du terme de plus haut degré jusqu'à la constante, séparés par des espaces. N'oubliez pas d'inscrire un zéro pour chaque puissance absente. Par exemple, $x^3 - 3x + 5$ ne comporte pas de terme en $x^2$, vous taperez donc 1 0 -3 5. Le diviseur $x - 2$ s'écrit 1 -2. Cliquez sur « Calculer » pour afficher le quotient et le reste.

La méthode expliquée

À chaque étape, on divise le terme dominant du dividende courant par le terme dominant du diviseur afin d'obtenir le terme suivant du quotient. On multiplie ensuite l'ensemble du diviseur par ce terme, on soustrait le résultat du dividende, puis on recommence avec le nouveau polynôme, de degré inférieur. Lorsque le degré du polynôme restant devient inférieur à celui du diviseur, ce qui subsiste constitue le reste.

Exemple détaillé

Divisons $x^2 - 3x + 5$ par $x - 2$. Saisissez le dividende 1 -3 5 et le diviseur 1 -2. D'abord, $x^2 \div x = x$ ; en soustrayant $x(x - 2) = x^2 - 2x$, il reste $-x + 5$. Ensuite, $-x \div x = -1$ ; en soustrayant $-1(x - 2) = -x + 2$, il reste $3$. On obtient donc $Q(x) = x - 1$ et $R(x) = 3$, ce qui signifie que $$x^2 - 3x + 5 = (x - 2)(x - 1) + 3.$$

Disposition en escalier de la division posée pour diviser un polynôme par un autre — L'escalier de la division posée : soustrayez les multiples du diviseur étape par étape jusqu'à ce que le degré du reste soit inférieur à celui du diviseur.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si le diviseur est de degré supérieur au dividende ? Dans ce cas, le quotient vaut $0$ et le dividende tout entier devient le reste.

Comment noter les termes manquants ? Utilisez $0$ comme coefficient pour chaque puissance absente, en conservant l'ordre de toutes les positions.

Un reste nul signifie-t-il que le diviseur est un facteur ? Oui : si $R(x) = 0$, le diviseur divise exactement le dividende.

Dernière mise à jour: 18 juin 2026

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