Calculateur de polynôme à partir des racines

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Coefficient dominant (a)

Racines / zéros (séparés par des virgules)

Résultats

Polynôme P(x)

P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

développé à partir des racines saisies

Degré	3
Nombre de racines	3
Coefficient dominant	1
Terme constant	6

À quoi sert ce calculateur

Le calculateur de polynôme à partir des racines inverse le problème habituel de recherche des racines : au lieu de chercher les zéros d'un polynôme, il reconstruit le polynôme lorsque vous connaissez déjà ses racines. À partir d'un ensemble de racines réelles et d'un coefficient dominant optionnel, il renvoie la forme standard entièrement développée de \(P(x)\), accompagnée de son degré, de son coefficient dominant et de son terme constant.

Comment l'utiliser

Saisissez vos racines sous forme de liste séparée par des virgules (par exemple 1, -2, 3). Fixez le coefficient dominant a : utilisez 1 pour obtenir le polynôme unitaire le plus simple, ou une autre valeur pour le mettre à l'échelle. Le calculateur multiplie entre eux les facteurs \((x - r)\), applique le coefficient dominant et affiche le polynôme développé.

La formule expliquée

D'après le théorème de la racine (ou théorème des facteurs), si \(r\) est une racine de \(P(x)\), alors \((x - r)\) en est un facteur. Un polynôme dont les racines sont \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) s'écrit donc

$$P(x) = a \cdot (x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n)$$

Le calculateur effectue ce produit étape par étape, en le développant selon les puissances décroissantes de \(x\). Le coefficient dominant détermine le terme de plus haut degré, tandis que le terme constant est égal à \(a\) multiplié par le produit des racines changées de signe.

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Un polynôme se construit comme le coefficient dominant multiplié par les facteurs \((x - r_i)\), puis on le développe.

Exemple résolu

Supposons que les racines soient 1, −2 et 3, avec \(a = 1\). On multiplie \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\). D'abord,

$$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$

Ensuite,

$$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$

On obtient donc \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\), un polynôme de degré 3 dont le terme constant vaut 6.

Chaque racine \(r_i\) est l'endroit où la courbe du polynôme croise l'axe des x.

FAQ

Puis-je saisir des racines répétées ? Oui : indiquer une racine deux fois lui donne une multiplicité de deux, ce qui produit un facteur élevé au carré.

Gère-t-il les racines complexes ? Cet outil fonctionne avec des racines réelles. Pour inclure des paires de complexes conjugués, saisissez-les plutôt sous la forme d'un facteur quadratique réel.

À quoi sert le coefficient dominant ? Il met le polynôme entier à l'échelle verticalement sans changer ses racines : ainsi, \(a = 2\) double chacun des coefficients.