Qu'est-ce que le polynôme caractéristique ?
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A se définit par \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\), où I désigne la matrice identité et λ une variable scalaire. Ses racines correspondent exactement aux valeurs propres de A, ce qui en fait un outil incontournable en algèbre linéaire, dans la résolution des équations différentielles, l'analyse de stabilité ou encore la mécanique quantique. Ce calculateur traite aussi bien les matrices 2×2 que 3×3 et renvoie les coefficients du polynôme accompagnés de la trace et du déterminant.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez d'abord la taille de la matrice (2×2 ou 3×3), puis saisissez chaque valeur dans la cellule correspondante. Pour une matrice 2×2, seules les entrées a11, a12, a21 et a22 sont prises en compte ; les autres cellules sont ignorées. Cliquez sur « Calculer » pour afficher le polynôme sous sa forme standard, avec le détail de chaque coefficient.
Les formules
Pour une matrice 2×2, le résultat est concis :
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$avec \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\) et \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\).
Pour une matrice 3×3 :
$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$où \(\operatorname{tr}(A)\) est la somme des éléments de la diagonale et \(m\) la somme des trois mineurs principaux 2×2 (ceux que l'on obtient en supprimant une même ligne et une même colonne passant par la diagonale).
Exemple détaillé
Prenons la matrice 2×2 [[2, 1], [1, 2]]. Sa trace vaut \(2 + 2 = 4\) et son déterminant \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\). On obtient donc
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3$$qui se factorise en \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\), d'où les valeurs propres 1 et 3.
Questions fréquentes
Que représentent les racines du polynôme caractéristique ? Ce sont les valeurs propres de la matrice.
Pourquoi le coefficient dominant est-il −1 pour une matrice 3×3 ? Parce que le développement de \(\det(A - \lambda I)\) pour une matrice de taille impaire fait apparaître un facteur \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\). De nombreux ouvrages multiplient l'ensemble par −1 pour rendre le polynôme unitaire ; les deux écritures ont exactement les mêmes racines.
Fonctionne-t-il avec des matrices non symétriques ? Oui : la formule utilise toutes les entrées, donc n'importe quelle matrice réelle 2×2 ou 3×3 convient.
