Karakteristik Polinom Hesaplama

Hesaplamaya Girin

Matris boyutu 2×2 3×3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

2×2 bir matriste yalnızca sol üstteki dört değer (a11, a12, a21, a22) kullanılır.

Sonuç

Karakteristik Polinom p(λ)

1λ² -4λ +3

= 0

λ³ katsayısı	0
λ² katsayısı	1
λ¹ katsayısı	-4
λ⁰ (sabit terim)	3
İz tr(A)	4
Determinant det(A)	3

Karakteristik polinom nedir?

Bir A kare matrisinin karakteristik polinomu \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) şeklinde tanımlanır; burada I birim matris, \(\lambda\) ise skaler bir değişkendir. Bu polinomun kökleri tam olarak A matrisinin özdeğerleridir. İşte bu özelliği sayesinde karakteristik polinom; lineer cebir, diferansiyel denklemler, kararlılık analizi ve kuantum mekaniğinin temel taşlarından biri haline gelir. Bu hesaplayıcı hem 2×2 hem de 3×3 matrislerle çalışır; polinom katsayılarının yanı sıra matrisin izini (trace) ve determinantını da verir.

Karakteristik polinom, köşegende \(\lambda\) çıkarılarak \(\det(A - \lambda I)\)'den elde edilir.

Hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Önce matris boyutunu (2×2 ya da 3×3) seçin, ardından her bir değeri ilgili hücreye yazın. 2×2 bir matris için yalnızca a11, a12, a21 ve a22 değerleri kullanılır; diğer hücreler dikkate alınmaz. "Hesapla" düğmesine bastığınızda polinomu standart formda ve her katsayıyla birlikte görürsünüz.

Formüller

2×2 bir matris için sonuç oldukça sadedir: $$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$ Burada \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\) ve \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\) olur.

3×3 bir matris için ise: $$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$ Burada \(\operatorname{tr}(A)\) köşegen üzerindeki elemanların toplamı, \(m\) ise üç temel 2×2 minörün toplamıdır (köşegen üzerindeki bir satır ve aynı numaralı sütun silinerek elde edilen minörler).

Reklam

2×2 matris için polinom \(\lambda^{2} - (\text{iz})\lambda + (\text{determinant})\) şeklindedir.

Çözümlü örnek

[[2, 1], [1, 2]] şeklindeki 2×2 matrisi ele alalım. İz \(2 + 2 = 4\), determinant ise \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\) olur. Buradan $$p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3$$ elde edilir; bu da \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\) şeklinde çarpanlarına ayrılır ve özdeğerlerin 1 ile 3 olduğunu gösterir.

Sıkça sorulan sorular

Karakteristik polinomun kökleri nedir? Bu kökler, matrisin özdeğerleridir.

3×3 matriste baş katsayı neden −1 oluyor? Çünkü tek boyutlu bir matris için \(\det(A - \lambda I)\) açılımı \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\) çarpanını ortaya çıkarır. Birçok kaynak polinomu monik (baş katsayısı 1) yapmak için tümünü \(-1\) ile çarpar; her iki biçim de aynı köklere sahiptir.

Simetrik olmayan matrislerde çalışır mı? Evet. Formül tüm elemanları kullandığından, herhangi bir gerçek 2×2 veya 3×3 matriste sorunsuz çalışır.