特性多項式とは？
正方行列 A の特性多項式は \( p(\lambda) = \det(A - \lambda I) \) と定義されます。ここで I は単位行列、\( \lambda \) はスカラー変数です。この多項式の根がそのまま A の固有値になるため、特性多項式は線形代数をはじめ、微分方程式、安定性解析、量子力学などで欠かせない存在となっています。本ツールは 2×2 と 3×3 の行列に対応し、多項式の係数に加えてトレース（対角和）と行列式も同時に求めます。
使い方
まず行列のサイズ（2×2 または 3×3）を選び、ラベル付きの各セルに成分を入力します。2×2 行列の場合は a11・a12・a21・a22 の4つだけが使われ、それ以外のセルは無視されます。「計算する」ボタンを押すと、標準形で表した多項式と各係数が表示されます。
計算式
2×2 行列の場合はシンプルで、次のようになります。
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$ここで \( \operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22} \)、\( \det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21} \) です。
3×3 行列の場合は次のようになります。
$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$\( \operatorname{tr}(A) \) は対角成分の和、\( m \) は3つの主小行列式（対角線上の同じ行と列を1組ずつ取り除いて得られる 2×2 の小行列式）の和を表します。
計算例
2×2 行列 [[2, 1], [1, 2]] を例に考えてみましょう。トレースは \( 2 + 2 = 4 \)、行列式は \( 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3 \) です。したがって \( p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3 \) となり、\( (\lambda - 1)(\lambda - 3) \) と因数分解できます。これにより固有値は 1 と 3 だとわかります。
よくある質問
特性多項式の根は何を表しますか？ その行列の固有値を表します。
3×3 で最高次の係数が −1 になるのはなぜですか？ 奇数サイズの行列で \( \det(A - \lambda I) \) を展開すると \( (-\lambda)^{3} = -\lambda^{3} \) という因子が現れるためです。多くの教科書では全体に −1 を掛けてモニック（最高次係数を1）にしますが、どちらの形でも根は同じです。
対称でない行列でも使えますか？ はい。計算式はすべての成分を用いるため、実数成分の 2×2・3×3 行列であればどんなものでも計算できます。
