什么是特征多项式？
对于一个方阵 A，它的特征多项式定义为 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，其中 \(I\) 是单位矩阵，\(\lambda\) 是标量变量。这个多项式的根恰好就是 A 的特征值，因此它是线性代数、微分方程、稳定性分析以及量子力学中的核心工具。本计算器同时支持 2×2 和 3×3 矩阵，除了给出多项式的各项系数外，还会一并算出矩阵的迹和行列式。
如何使用本计算器
先选择矩阵的阶数（2×2 或 3×3），再把每个元素填入对应标注的单元格。如果是 2×2 矩阵，只会用到 a11、a12、a21 和 a22 四个元素，其余单元格会被忽略。点击「计算」后，即可看到以标准形式书写的特征多项式以及每一项的系数。
计算公式
对于 2×2 矩阵，结果非常简洁：
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \left(\text{a11} + \text{a22}\right)\lambda + \left(\text{a11}\,\text{a22} - \text{a12}\,\text{a21}\right)$$其中 \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\)，\(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\)。
对于 3×3 矩阵：
$$\begin{gathered} p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr} \lambda^{2} - M\,\lambda + \det \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \operatorname{tr} &= \text{a11} + \text{a22} + \text{a33} \\ M &= (\text{a11}\text{a22} - \text{a12}\text{a21}) + (\text{a11}\text{a33} - \text{a13}\text{a31}) + (\text{a22}\text{a33} - \text{a23}\text{a32}) \\ \det &= \text{a11}(\text{a22}\text{a33} - \text{a23}\text{a32}) - \text{a12}(\text{a21}\text{a33} - \text{a23}\text{a31}) + \text{a13}(\text{a21}\text{a32} - \text{a22}\text{a31}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$其中 \(\operatorname{tr}(A)\) 是主对角线元素之和，\(m\) 是三个二阶主子式之和（即沿主对角线删去一对对应的行和列后得到的子式）。
实例演示
以 2×2 矩阵 \([[2, 1], [1, 2]]\) 为例。它的迹为 \(2 + 2 = 4\)，行列式为 \(2\cdot2 - 1\cdot1 = 3\)。于是 \(p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3\)，可因式分解为 \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\)，对应的特征值为 1 和 3。
常见问题
特征多项式的根是什么？它们就是矩阵的特征值。
为什么 3×3 矩阵的最高次项系数是 −1？因为对奇数阶矩阵展开 \(\det(A - \lambda I)\) 时，会引入一个 \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\) 的因子。很多教材会把整个式子乘以 \(-1\)，使其成为首一多项式；两种写法的根完全相同。
它适用于非对称矩阵吗？适用——公式会用到矩阵的每一个元素，因此任意实数 2×2 或 3×3 矩阵都可以计算。
