ما هو كثير الحدود المميز؟
كثير الحدود المميز لمصفوفة مربعة A يُعرَّف بالعلاقة \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)، حيث I هي مصفوفة الوحدة وλ متغيّر عددي (سُلَّمي). جذور هذا كثير الحدود هي بالضبط القيم الذاتية للمصفوفة A، وهذا ما يجعله ركيزة أساسية في الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية وتحليل الاستقرار وميكانيكا الكم. تتعامل هذه الحاسبة مع المصفوفات من حجم 2×2 و3×3، وتُعيد لك معاملات كثير الحدود إضافةً إلى الأثر (الأثَر) والمحدد.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا حجم المصفوفة (2×2 أو 3×3)، ثم أدخل كل عنصر في الخانة المخصصة له. في حالة المصفوفة 2×2 تُستخدم العناصر a11 وa12 وa21 وa22 فقط، أما باقي الخانات فتُهمَل. اضغط على زر الحساب لتظهر لك كثير الحدود مكتوبًا بالصيغة القياسية مع قيمة كل معامل على حدة.
الصيغ الرياضية
بالنسبة للمصفوفة 2×2 تكون النتيجة موجزة:
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$حيث \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\) و\(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\).
أما المصفوفة 3×3 فصيغتها:
$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$حيث \(\operatorname{tr}(A)\) هو مجموع عناصر القُطر الرئيسي، وm هو مجموع المُحدِّدات الثانوية الثلاثة من حجم 2×2 (وهي المُحدِّدات الناتجة عن حذف صف وعمود متطابقين يمرّان عبر القطر).
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة 2×2 التالية: [[2, 1], [1, 2]]. الأثر يساوي \(2 + 2 = 4\)، والمحدد يساوي \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\). ومن ثَمّ فإن \(p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3\)، ويمكن تحليله إلى العاملين \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\)، وبذلك تكون القيمتان الذاتيتان هما 1 و3.
الأسئلة الشائعة
ما هي جذور كثير الحدود المميز؟ هي القيم الذاتية للمصفوفة.
لماذا يكون المعامل الرئيسي −1 في حالة 3×3؟ لأن نشر المُحدِّد \(\det(A - \lambda I)\) لمصفوفة ذات حجم فردي يُدخِل العامل \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\). ولهذا تضرب كثير من المراجع كامل التعبير في −1 لجعله أحاديًا (monic)، والصيغتان لهما الجذور نفسها.
هل تعمل مع المصفوفات غير المتماثلة؟ نعم، فالصيغة تستخدم جميع العناصر، لذا تصلح لأي مصفوفة حقيقية من حجم 2×2 أو 3×3.
