특성다항식이란?
정사각행렬 A의 특성다항식은 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)로 정의됩니다. 여기서 I는 단위행렬이고 \(\lambda\)는 스칼라 변수입니다. 이 다항식의 근이 바로 행렬 A의 고유값(eigenvalue)이기 때문에, 특성다항식은 선형대수학을 비롯해 미분방정식, 안정성 분석, 양자역학 등 여러 분야의 핵심 도구로 쓰입니다. 이 계산기는 2×2와 3×3 행렬을 모두 지원하며, 다항식의 각 계수는 물론 대각합(trace)과 행렬식(determinant)까지 함께 알려줍니다.
계산기 사용법
먼저 행렬 크기(2×2 또는 3×3)를 선택한 뒤, 각 칸에 표시된 라벨에 맞춰 원소 값을 입력하세요. 2×2 행렬에서는 a11, a12, a21, a22 네 개만 사용되며 나머지 칸의 값은 무시됩니다. 계산 버튼을 누르면 표준형으로 정리된 다항식과 함께 각 계수를 확인할 수 있습니다.
공식 정리
2×2 행렬의 경우 결과가 간단합니다.
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$여기서 \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\), \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\)입니다.
3×3 행렬의 경우에는 다음과 같습니다.
$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$\(\operatorname{tr}(A)\)는 대각 원소들의 합이고, \(m\)은 세 개의 주요 2×2 소행렬식(대각선을 지나는 같은 행과 열을 하나씩 지워서 얻는 소행렬식)의 합입니다.
예제 풀이
2×2 행렬 [[2, 1], [1, 2]]를 살펴봅시다. 대각합은 \(2 + 2 = 4\)이고 행렬식은 \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\)입니다. 따라서 다음이 되고,
$$p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3$$이는 \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\)으로 인수분해되어 고유값은 1과 3입니다.
자주 묻는 질문
특성다항식의 근은 무엇을 의미하나요? 그 근들이 바로 행렬의 고유값입니다.
3×3 행렬에서 최고차항 계수가 왜 −1인가요? 홀수 크기 행렬에서 \(\det(A - \lambda I)\)를 전개하면 \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\) 항이 생기기 때문입니다. 많은 교재에서는 전체에 −1을 곱해 최고차항 계수를 1(모닉, monic)로 맞추기도 하는데, 두 형태 모두 근은 동일합니다.
대칭이 아닌 행렬에도 쓸 수 있나요? 네, 공식은 모든 원소를 사용하므로 임의의 실수 2×2 또는 3×3 행렬에 모두 적용됩니다.
