다항식 곱셈 계산기란?
이 계산기는 두 다항식을 곱해 완전히 전개된 곱을 돌려줍니다. 각 다항식의 계수를 입력하면 결과 다항식과 계수 목록, 그리고 곱의 차수를 계산해 줍니다. 음수와 소수를 포함해 실수 계수를 가진 모든 다항식에 사용할 수 있습니다.
사용 방법
각 다항식의 계수를 최고차항부터 상수항까지 순서대로, 쉼표로 구분해 입력하세요. 예를 들어 1, 2, 3은 \(x^2 + 2x + 3\)을, 1, -1은 \(x - 1\)을 나타냅니다. 빠진 항이 있다면 반드시 0으로 입력해야 합니다(예: \(x^2 + 1\)은 1, 0, 1). 계산 버튼을 누르면 전개된 곱을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
다항식을 곱하는 것은 두 계수 수열의 합성곱(convolution)과 같습니다. 첫 번째 다항식의 계수를 \(a_i\), 두 번째 다항식의 계수를 \(b_j\)라고 하면, \(x^k\) 항의 곱 계수는 지수 조건 \(i + j = k\)를 만족하는 모든 \(a_i \cdot b_j\)의 합이 됩니다. 곱의 차수는 두 입력 다항식 차수의 합과 같습니다.
$$\left(\text{A}(x)\right)\cdot\left(\text{B}(x)\right)=\sum_{k=0}^{m+n} c_k\,x^{\,m+n-k}, \qquad c_k=\sum_{i+j=k} a_i\,b_j$$
예제로 풀어 보기
\((x^2 + 2x + 3)\)에 \((x - 1)\)을 곱해 보겠습니다. 분배법칙을 적용하면 \(x^2 \cdot x = x^3\), \(x^2 \cdot (-1) = -x^2\); \(2x \cdot x = 2x^2\), \(2x \cdot (-1) = -2x\); \(3 \cdot x = 3x\), \(3 \cdot (-1) = -3\)이 됩니다. 동류항끼리 묶으면 $$x^3 + (-1 + 2)x^2 + (-2 + 3)x - 3 = x^3 + x^2 + x - 3$$ 입니다. 계산기는 계수 \(1, 1, 1, -3\)을 돌려줍니다.
자주 묻는 질문
계수가 0인 항도 입력해야 하나요? 네. 최고차항부터 상수항까지 모든 차수의 계수가 필요하므로, 빠진 항은 0으로 입력하세요.
상수를 곱할 수도 있나요? 가능합니다. 한쪽 다항식에 숫자 하나만 입력하면 됩니다. 예를 들어 5를 입력하면 전체에 5를 곱합니다.
소수와 음수도 처리되나요? 네, 1.5나 -2 같은 모든 실수 계수를 지원합니다.
