3×3 행렬 곱셈이란?
행렬 곱셈은 두 행렬을 하나의 곱 행렬로 결합하는 연산입니다. 두 개의 3×3 행렬 A와 B를 곱하면 그 결과 \(C = A \times B\) 역시 3×3 행렬이 됩니다. 곱 행렬 C의 각 원소는 A의 한 행과 B의 한 열의 내적(dot product)으로 계산됩니다. 행렬 곱셈은 선형대수학의 핵심 개념일 뿐 아니라 컴퓨터 그래픽스, 물리학, 공학에서도 폭넓게 쓰이며, 변환·회전·연립방정식 풀이 등 다양한 분야에 활용됩니다.
계산기 사용 방법
첫 번째 3×3 격자에 행렬 A의 아홉 개 숫자를, 두 번째 격자에 행렬 B의 아홉 개 숫자를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 전체 3×3 곱 행렬 C가 한 번에 출력됩니다. 소수와 음수도 입력할 수 있습니다. 한 가지 기억할 점은 행렬 곱셈에는 교환법칙이 성립하지 않는다는 것입니다. 즉, 일반적으로 \(A \times B\)와 \(B \times A\)는 같지 않습니다.
공식 자세히 보기
곱 행렬에서 i행 j열에 위치한 원소는 다음과 같이 구합니다.
$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$
쉽게 말하면, A의 i행을 따라가면서 동시에 B의 j열을 아래로 내려가며 서로 대응하는 원소를 곱하고, 그렇게 나온 세 곱을 모두 더합니다. 이 과정을 아홉 개 위치 전부에 반복하면 곱 행렬이 완성됩니다.
풀이 예제
A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]이고 B는 단위행렬 [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]이라고 하겠습니다. 어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 원래 행렬이 그대로 나오므로 \(C = A\)가 됩니다. 예를 들어 $$C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$$이고, $$C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6$$입니다.
3×3 행렬을 손으로 곱하는 방법
- 차원을 확인하세요. 곱 \(A\times B\)는 \(A\)의 열의 개수가 \(B\)의 행의 개수와 같을 때만 정의됩니다. 두 개의 3×3 행렬의 경우 이것은 자동으로 만족되며, 결과 \(C\)도 3×3입니다.
- 목표 항목 \(C_{ij}\)를 선택하세요. 채우고 싶은 결과의 행 \(i\) (1, 2, 또는 3)과 열 \(j\) (1, 2, 또는 3)을 선택합니다.
- \(A\)의 행 \(i\)와 \(B\)의 열 \(j\)를 선택하세요. \(A\)의 그 행에 있는 세 개의 숫자를 \(B\)의 그 열에 있는 세 개의 숫자와 조합할 것입니다.
- 쌍을 이루는 요소를 곱하세요. 첫 번째와 첫 번째, 두 번째와 두 번째, 세 번째와 세 번째를 일치시킵니다: \(a_{i1}b_{1j}\), \(a_{i2}b_{2j}\), 그리고 \(a_{i3}b_{3j}\).
- 세 개의 곱을 합하세요. 이들을 더해 단일 항목을 얻으세요: \(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\). 이것은 정확히 행과 열의 내적입니다.
- 모든 아홉 위치에 대해 반복하세요. \(i=1,2,3\)과 \(j=1,2,3\)의 모든 조합을 처리하세요 — 총 아홉 개의 내적, 각각 세 번의 곱셈과 두 번의 덧셈을 사용합니다.
- 곱 행렬을 조립하세요. 각 \(C_{ij}\)를 행 \(i\), 열 \(j\) 위치에 놓아 최종 3×3 행렬 \(C\)를 형성합니다. 음수 항목이 포함될 때 부호를 주의 깊게 추적하세요.
핵심 용어 및 정의
- 행렬
- 행과 열로 배열된 숫자의 직사각형 배열입니다. 3×3 행렬은 세 개의 행과 세 개의 열을 가집니다(아홉 개의 항목).
- 항목 / 요소
- 행렬의 단일 숫자로, \(a_{ij}\)로 표기되며, 여기서 \(i\)는 행이고 \(j\)는 열입니다.
- 행
- 항목의 수평선입니다. 3×3 행렬의 행 \(i\)는 \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\)입니다.
- 열
- 항목의 수직선입니다. 열 \(j\)는 \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\)입니다.
- 내적
- 두 개의 동일한 길이 리스트의 쌍을 이루는 성분의 곱의 합입니다: \(\sum_k a_k b_k\). 각 곱 항목 \(C_{ij}\)는 \(A\)의 행 \(i\)와 \(B\)의 열 \(j\)의 내적입니다.
- 곱 행렬
- 결과 \(C = A\times B\)이며, 그 항목 \(C_{ij}\)는 \(A\)의 행 \(i\)와 \(B\)의 열 \(j\)의 내적입니다.
- 항등 행렬
- 주 대각선 위에 1을 가지고 다른 곳에는 0을 가지는 정사각형 행렬 \(I\)입니다. 모든 적합한 \(A\)에 대해 \(A\times I = I\times A = A\)를 만족합니다.
- 교환 법칙
- 연산이 순서가 중요하지 않으면 교환 법칙입니다. 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 아닙니다: 보통 \(A\times B \neq B\times A\)입니다.
- 적합한 / 차원 규칙
- 두 행렬은 첫 번째의 열의 개수가 두 번째의 행의 개수와 같을 때만 곱할 수 있습니다. \(m\times n\) 곱하기 \(n\times p\) 행렬은 \(m\times p\) 결과를 산출합니다.
자주 묻는 질문
\(A \times B\)와 \(B \times A\)는 같나요? 아닙니다. 행렬 곱셈에는 교환법칙이 성립하지 않으므로, 곱하는 순서를 바꾸면 대개 다른 결과가 나옵니다.
크기가 다른 행렬도 곱할 수 있나요? 첫 번째 행렬의 열 개수와 두 번째 행렬의 행 개수가 같을 때만 곱셈이 가능합니다. 두 개의 3×3 행렬은 이 조건을 항상 만족합니다.
단위행렬을 곱하면 어떻게 되나요? 단위행렬은 숫자 1과 같은 역할을 합니다. 즉, \(A \times I = A\)가 되어 원래 행렬이 그대로 유지됩니다.
