Qu'est-ce que la multiplication de matrices 3×3 ?
La multiplication de matrices combine deux matrices en une seule matrice produit. Pour deux matrices 3×3 A et B, le produit C = A × B est lui aussi une matrice 3×3. Chaque coefficient de C correspond au produit scalaire d'une ligne de A par une colonne de B. La multiplication de matrices est un pilier de l'algèbre linéaire, de l'infographie, de la physique et de l'ingénierie : on l'utilise pour les transformations, les rotations, la résolution de systèmes et bien plus encore.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les neuf nombres de la matrice A dans la première grille 3×3, puis les neuf nombres de la matrice B dans la seconde grille. Cliquez sur calculer et l'outil affiche la matrice produit C complète, en 3×3. Les décimales et les nombres négatifs sont pris en charge. Gardez à l'esprit que la multiplication de matrices n'est pas commutative : en général, A × B est différent de B × A.
La formule expliquée
Le coefficient situé à la ligne i, colonne j du produit s'écrit :
$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$
Autrement dit : parcourez la ligne i de A et descendez le long de la colonne j de B, multipliez les éléments qui se correspondent, puis additionnez les trois produits. Répétez l'opération pour les neuf positions afin de remplir toute la matrice produit.
Exemple résolu
Prenons A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] et B = la matrice identité [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. Multiplier une matrice quelconque par la matrice identité redonne la matrice de départ, donc C = A. Par exemple, $$C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$$ et $$C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6.$$
Comment multiplier des matrices 3×3 à la main
- Vérifiez les dimensions. Le produit \(A\times B\) est défini seulement lorsque le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Pour deux matrices 3×3, cela est automatiquement satisfait, et le résultat \(C\) est aussi 3×3.
- Choisissez une entrée cible \(C_{ij}\). Choisissez la ligne \(i\) (1, 2 ou 3) et la colonne \(j\) (1, 2 ou 3) du résultat que vous voulez remplir.
- Sélectionnez la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\). Vous allez combiner les trois nombres de cette ligne de \(A\) avec les trois nombres de cette colonne de \(B\).
- Multipliez les éléments appariés. Associez le premier avec le premier, le deuxième avec le deuxième, le troisième avec le troisième : \(a_{i1}b_{1j}\), \(a_{i2}b_{2j}\), et \(a_{i3}b_{3j}\).
- Additionnez les trois produits. Ajoutez-les pour obtenir l'entrée unique : \(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\). Ceci est exactement le produit scalaire de la ligne et de la colonne.
- Répétez pour les neuf positions. Travaillez sur toutes les combinaisons de \(i=1,2,3\) et \(j=1,2,3\) — neuf produits scalaires au total, chacun utilisant trois multiplications et deux additions.
- Assemblez la matrice produit. Placez chaque \(C_{ij}\) à sa position de ligne \(i\), colonne \(j\) pour former la matrice finale 3×3 \(C\). Suivez attentivement les signes lorsque des entrées négatives sont impliquées.
Termes clés et définitions
- Matrice
- Un tableau rectangulaire de nombres arrangés en lignes et colonnes ; une matrice 3×3 a trois lignes et trois colonnes (neuf entrées).
- Entrée / élément
- Un nombre unique dans la matrice, écrit \(a_{ij}\), où \(i\) est sa ligne et \(j\) est sa colonne.
- Ligne
- Une ligne horizontale d'entrées. La ligne \(i\) d'une matrice 3×3 est \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\).
- Colonne
- Une ligne verticale d'entrées. La colonne \(j\) est \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\).
- Produit scalaire
- La somme des produits des composantes appariées de deux listes de longueur égale : \(\sum_k a_k b_k\). Chaque entrée de produit \(C_{ij}\) est le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) et de la colonne \(j\) de \(B\).
- Matrice produit
- Le résultat \(C = A\times B\), dont l'entrée \(C_{ij}\) est le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) avec la colonne \(j\) de \(B\).
- Matrice d'identité
- La matrice carrée \(I\) avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. Elle satisfait \(A\times I = I\times A = A\) pour tout \(A\) conforme.
- Commutative
- Une opération est commutative si l'ordre n'a pas d'importance. La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative : généralement \(A\times B \neq B\times A\).
- Conforme / règle de dimension
- Deux matrices peuvent être multipliées seulement si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la deuxième. Une matrice \(m\times n\) multipliée par une matrice \(n\times p\) donne un résultat \(m\times p\).
FAQ
A × B est-il égal à B × A ? Non. La multiplication de matrices n'est pas commutative : inverser l'ordre donne généralement un résultat différent.
Peut-on multiplier des matrices de tailles différentes ? On ne peut multiplier deux matrices que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Deux matrices 3×3 vérifient toujours cette condition.
Que fait la multiplication par la matrice identité ? La matrice identité joue le rôle du nombre 1 : A × I = A, la matrice reste inchangée.
