Что такое умножение матриц 3×3?
Умножение матриц объединяет две матрицы в одну матрицу-произведение. Для двух матриц 3×3 — A и B — произведение C = A × B также будет матрицей 3×3. Каждый элемент матрицы C вычисляется как скалярное произведение строки матрицы A на столбец матрицы B. Умножение матриц — один из ключевых инструментов линейной алгебры, компьютерной графики, физики и инженерных расчётов: с его помощью описывают преобразования, повороты, решают системы уравнений и многое другое.
Как пользоваться калькулятором
Введите все девять чисел матрицы A в первую таблицу 3×3 и все девять чисел матрицы B — во вторую. Нажмите «Вычислить», и калькулятор покажет полную матрицу-произведение C размером 3×3. Поддерживаются дробные и отрицательные числа. Помните: умножение матриц не коммутативно — A × B в общем случае не равно B × A.
Разбор формулы
Элемент в строке i и столбце j произведения вычисляется так:
$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$
Проще говоря: пройдитесь по строке i матрицы A и по столбцу j матрицы B, перемножьте соответствующие элементы и сложите три полученных произведения. Повторите это для всех девяти позиций — так заполнится вся матрица-произведение.
Пример с решением
Пусть A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], а B — единичная матрица [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. Умножение любой матрицы на единичную возвращает исходную матрицу, поэтому C = A. Например, $$C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1,$$ а $$C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6.$$
Частые вопросы
Равны ли A × B и B × A? Нет. Умножение матриц не коммутативно: если поменять матрицы местами, результат обычно получится другим.
Можно ли перемножать матрицы разного размера? Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой совпадает с числом строк второй. Две матрицы 3×3 этому условию удовлетворяют всегда.
Что даёт умножение на единичную матрицу? Единичная матрица играет роль числа 1: A × I = A, то есть исходная матрица остаётся без изменений.
Как умножать матрицы 3×3 вручную
- Проверьте размерности. Произведение \(A\times B\) определено только когда число столбцов \(A\) равно числу строк \(B\). Для двух матриц 3×3 это автоматически выполняется, и результат \(C\) также является матрицей 3×3.
- Выберите целевой элемент \(C_{ij}\). Выберите строку \(i\) (1, 2 или 3) и столбец \(j\) (1, 2 или 3) результата, который вы хотите заполнить.
- Выберите строку \(i\) матрицы \(A\) и столбец \(j\) матрицы \(B\). Вы объедините три числа из этой строки \(A\) с тремя числами из этого столбца \(B\).
- Умножьте парные элементы. Сопоставьте первый с первым, второй со вторым, третий с третьим: \(a_{i1}b_{1j}\), \(a_{i2}b_{2j}\) и \(a_{i3}b_{3j}\).
- Сложите три произведения. Добавьте их, чтобы получить один элемент: \(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\). Это в точности скалярное произведение строки и столбца.
- Повторите для всех девяти позиций. Пройдитесь по всем комбинациям \(i=1,2,3\) и \(j=1,2,3\) — всего девять скалярных произведений, каждое использует три умножения и два сложения.
- Составьте матрицу произведения. Поместите каждый \(C_{ij}\) в его позицию в строке \(i\), столбце \(j\), чтобы сформировать финальную матрицу 3×3 \(C\). Тщательно отслеживайте знаки при наличии отрицательных элементов.
Ключевые термины и определения
- Матрица
- Прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах; матрица 3×3 имеет три строки и три столбца (девять элементов).
- Элемент / запись
- Одно число в матрице, записанное как \(a_{ij}\), где \(i\) — его строка и \(j\) — его столбец.
- Строка
- Горизонтальная линия элементов. Строка \(i\) матрицы 3×3 это \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\).
- Столбец
- Вертикальная линия элементов. Столбец \(j\) это \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\).
- Скалярное произведение
- Сумма произведений парных компонентов двух равной длины списков: \(\sum_k a_k b_k\). Каждый элемент произведения \(C_{ij}\) является скалярным произведением строки \(i\) матрицы \(A\) и столбца \(j\) матрицы \(B\).
- Матрица произведения
- Результат \(C = A\times B\), элемент которого \(C_{ij}\) является скалярным произведением строки \(i\) матрицы \(A\) со столбцом \(j\) матрицы \(B\).
- Единичная матрица
- Квадратная матрица \(I\) с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Она удовлетворяет \(A\times I = I\times A = A\) для любой согласованной \(A\).
- Коммутативность
- Операция коммутативна, если порядок не имеет значения. Умножение матриц в общем случае не коммутативно: обычно \(A\times B \neq B\times A\).
- Согласованность / правило размерности
- Две матрицы можно перемножать только если число столбцов первой равно числу строк второй. Матрица \(m\times n\) раз матрица \(n\times p\) дает результат \(m\times p\).
