3×3 Matris Çarpımı Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

A Matrisi

B Matrisi

Sonuç

Çarpım Matrisi C = A × B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Each entry C_ij = row i of A · column j of B

3×3 Matris Çarpımı Nedir?

Matris çarpımı, iki matrisi tek bir çarpım matrisinde birleştirir. A ve B adında iki 3×3 matris için, \(C = A \times B\) çarpımı da yine bir 3×3 matristir. C matrisindeki her eleman, A'nın bir satırı ile B'nin bir sütununun nokta çarpımı olarak hesaplanır. Matris çarpımı; lineer cebirin, bilgisayar grafiklerinin, fiziğin ve mühendisliğin temel taşlarından biridir. Dönüşümlerde, döndürmelerde, denklem sistemlerinin çözümünde ve çok daha fazlasında kullanılır.

Bu Aracı Nasıl Kullanırsınız?

A Matrisinin dokuz sayısını ilk 3×3 tabloya, B Matrisinin dokuz sayısını ise ikinci tabloya girin. Hesapla butonuna tıkladığınızda araç, tam 3×3 boyutundaki C çarpım matrisini size sunar. Ondalık sayılar ve negatif değerler de desteklenir. Şunu unutmayın: matris çarpımı değişme özelliği taşımaz; yani \(A \times B\) çarpımı genellikle \(B \times A\) çarpımına eşit değildir.

Formülün Açıklaması

Çarpım matrisinde i. satır ve j. sütundaki eleman şöyle hesaplanır:

$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$

Sözel olarak ifade edersek: A'nın i. satırı boyunca yatay, B'nin j. sütunu boyunca dikey ilerleyin; karşılıklı gelen elemanları çarpın ve elde ettiğiniz üç çarpımı toplayın. Aynı işlemi dokuz konumun tamamı için tekrarlayarak çarpım matrisini doldurun.

Reklam

Her çarpım girdisi \(C_{ij}\), A'nın i. satırı ile B'nin j. sütununun nokta çarpımıdır.

Çözümlü Örnek

A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] ve B'yi birim matris [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] olarak alalım. Herhangi bir matrisi birim matrisle çarptığınızda yine aynı matrisi elde edersiniz; dolayısıyla \(C = A\) olur. Örneğin \(C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1\) ve \(C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6\) olarak bulunur.

Tek bir girdiyi hesaplama: eşleşen sayıları çarpın ve üç çarpımı toplayın.

3×3 Matrisleri El ile Çarpma

1. Boyutları kontrol edin. \(A\times B\) çarpımı yalnızca \(A\) matrisinin sütun sayısı \(B\) matrisinin satır sayısına eşit olduğunda tanımlanır. İki 3×3 matris için bu otomatik olarak sağlanır ve sonuç \(C\) de 3×3 olur.
2. Hedef giriş \(C_{ij}\) seçin. Doldurmak istediğiniz sonucun satırını \(i\) (1, 2 veya 3) ve sütununu \(j\) (1, 2 veya 3) seçin.
3. \(A\) matrisinin satırı \(i\) ve \(B\) matrisinin sütunu \(j\) seçin. \(A\) matrisinin o satırdaki üç sayıyı \(B\) matrisinin o sütundaki üç sayıyla birleştireceksiniz.
4. Eşleştirilmiş öğeleri çarpın. Birincisini birinciyle, ikincisini ikinciyle, üçüncüsünü üçüncüyle eşleştirin: \(a_{i1}b_{1j}\), \(a_{i2}b_{2j}\) ve \(a_{i3}b_{3j}\).
5. Üç çarpımı toplayın. Tek bir giriş elde etmek için bunları ekleyin: \(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\). Bu tam olarak satır ve sütunun nokta çarpımıdır.
6. Dokuz pozisyonun tümü için tekrarlayın. \(i=1,2,3\) ve \(j=1,2,3\) için her kombinasyondan geçin — toplam dokuz nokta çarpım, her biri üç çarpma ve iki toplama kullanır.
7. Çarpım matrisini oluşturun. Her \(C_{ij}\) değerini, final 3×3 matris \(C\) oluşturmak için satır \(i\), sütun \(j\) yerine koyun. Negatif girişler içeren işaretlerin takibini dikkatlice tutun.

Reklam

Anahtar Terimler & Tanımlar

Matris

Satırlar ve sütunlarda düzenlenmiş sayıların dikdörtgen dizilişi; 3×3 matris üç satır ve üç sütuna (dokuz girişe) sahiptir.

Giriş / eleman

Matristeki tek bir sayı, \(a_{ij}\) olarak yazılır; burada \(i\) satırı ve \(j\) sütunudur.

Satır

Girişlerin yatay bir çizgisi. 3×3 matrisin satırı \(i\) şöyledir: \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\).

Sütun

Girişlerin dikey bir çizgisi. Sütun \(j\) şöyledir: \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\).

Nokta çarpımı

İki eşit uzunluklu listenin eşleştirilmiş bileşenlerinin çarpımlarının toplamı: \(\sum_k a_k b_k\). Her çarpım giriş \(C_{ij}\), \(A\) matrisinin satırı \(i\) ile \(B\) matrisinin sütunu \(j\) nin nokta çarpımıdır.

Çarpım matrisi

Sonuç \(C = A\times B\), giriş \(C_{ij}\) \(A\) matrisinin satırı \(i\) ile \(B\) matrisinin sütunu \(j\) nin nokta çarpımıdır.

Birim matris

Ana köşegende 1ler ve başka yerlerde 0lar olan kare matris \(I\). Herhangi bir uygun \(A\) için \(A\times I = I\times A = A\) sağlar.

Değişmeli

Sıra önemli değilse bir işlem değişmeli olur. Matris çarpması genel olarak değişmeli değildir: genellikle \(A\times B \neq B\times A\).

Uyumlu / boyut kuralı

İki matris yalnızca birincinin sütun sayısı ikincinin satır sayısına eşit olduğunda çarpılabilir. Bir \(m\times n\) ile bir \(n\times p\) matrisin çarpımı bir \(m\times p\) sonuç verir.

Sıkça Sorulan Sorular

\(A \times B\) ile \(B \times A\) aynı mıdır? Hayır. Matris çarpımında değişme özelliği yoktur; sırayı değiştirmek genellikle farklı bir sonuç verir.

Farklı boyutlardaki matrisleri çarpabilir miyim? İki matris ancak birincisinin sütun sayısı, ikincisinin satır sayısına eşit olduğunda çarpılabilir. İki 3×3 matris bu koşulu her zaman sağlar.

Birim matrisle çarpmak ne işe yarar? Birim matris, tıpkı 1 sayısı gibi davranır; \(A \times I = A\) olur ve matris hiç değişmeden kalır.