3×3行列の掛け算とは？
行列の掛け算（行列の積）とは、2つの行列を1つの積行列にまとめる演算です。2つの3×3行列AとBの積C = A × Bも、同じく3×3行列になります。Cの各成分は、Aの「行」とBの「列」の内積として計算されます。行列の掛け算は線形代数の基礎であり、コンピュータグラフィックス、物理学、工学など幅広い分野で利用され、座標変換・回転・連立方程式の求解などに欠かせません。
この計算機の使い方
最初の3×3グリッドに行列Aの9つの数値を、2つ目のグリッドに行列Bの9つの数値を入力します。「計算」をクリックすると、3×3の積行列Cがそのまま表示されます。小数や負の数にも対応しています。なお、行列の掛け算は交換法則が成り立たない点に注意してください。一般に A × B と B × A は等しくなりません。
計算式の解説
積行列のi行j列の成分は、次の式で求められます。
$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$
言葉で表すと、Aのi行目を横にたどり、Bのj列目を縦にたどって、対応する要素同士を掛け合わせ、その3つの積を足し合わせます。これを9つすべての位置で繰り返すと、積行列が完成します。
計算例
A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]、B = 単位行列 [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] とします。どんな行列でも単位行列を掛けると元の行列に戻るため、C = A となります。たとえば \(C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1\)、\(C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6\) です。
3×3行列を手計算で乗算する方法
- 次元を確認する。 積 \(A\times B\) は、\(A\) の列数が \(B\) の行数と等しいときにのみ定義されます。2つの3×3行列の場合、これは自動的に満たされ、結果 \(C\) も3×3です。
- 目標とする成分 \(C_{ij}\) を選ぶ。 結果の行 \(i\)（1、2、または3）と列 \(j\)（1、2、または3）を選び、埋めたい位置を決めます。
- \(A\) の行 \(i\) と \(B\) の列 \(j\) を選択する。 \(A\) のその行にある3つの数値と、\(B\) のその列にある3つの数値を組み合わせます。
- 対応する要素同士を乗算する。 最初同士、2番目同士、3番目同士を対応させます：\(a_{i1}b_{1j}\)、\(a_{i2}b_{2j}\)、\(a_{i3}b_{3j}\)。
- 3つの積を合計する。 これらを加えて、単一の成分を得ます：\(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\)。これは正確に行と列の内積です。
- 9つの位置すべてについて繰り返す。 \(i=1,2,3\) と \(j=1,2,3\) のすべての組み合わせを実行します。合計9つの内積があり、それぞれ3回の乗算と2回の加算を使用します。
- 積行列を組み立てる。 各 \(C_{ij}\) をその行 \(i\)、列 \(j\) の位置に配置して、最終的な3×3行列 \(C\) を形成します。負の成分が含まれている場合は、符号の追跡に注意してください。
主要用語と定義
- 行列
- 行と列に配置された数値の矩形配列。3×3行列は3行3列（9つの成分）を持ちます。
- 成分 / 要素
- 行列内の単一の数値。\(a_{ij}\) と表記されます。ここで \(i\) は行、\(j\) は列です。
- 行
- 成分の水平線。3×3行列の行 \(i\) は \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\) です。
- 列
- 成分の垂直線。列 \(j\) は \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\) です。
- 内積
- 等しい長さの2つのリストの対応成分の積の合計：\(\sum_k a_k b_k\)。各成分 \(C_{ij}\) は、\(A\) の行 \(i\) と \(B\) の列 \(j\) の内積です。
- 積行列
- 結果 \(C = A\times B\)。その成分 \(C_{ij}\) は、\(A\) の行 \(i\) と \(B\) の列 \(j\) の内積です。
- 単位行列
- 主対角線上に1、その他の場所に0を持つ正方行列 \(I\)。これは、適合可能な任意の \(A\) に対して \(A\times I = I\times A = A\) を満たします。
- 交換可能
- 操作が交換可能であるとは、順序が重要でないことを意味します。行列乗算は一般に交換可能ではありません：通常 \(A\times B \neq B\times A\) です。
- 適合 / 次元規則
- 2つの行列は、最初の行列の列数が2番目の行列の行数と等しい場合にのみ乗算できます。\(m\times n\) 行列と \(n\times p\) 行列の乗算は、\(m\times p\) の結果を生成します。
よくある質問
A × B と B × A は同じ結果になりますか？ いいえ。行列の掛け算には交換法則が成り立たないため、掛ける順序を入れ替えると通常は異なる結果になります。
サイズの違う行列同士を掛けられますか？ 1つ目の行列の「列の数」と2つ目の行列の「行の数」が一致するときに限り、掛け算できます。2つの3×3行列は常にこの条件を満たします。
単位行列を掛けるとどうなりますか？ 単位行列は数の「1」のような役割を果たします。A × I = A となり、行列は変化しません。
