ما هو ضرب المصفوفات 3×3؟
يُستخدم ضرب المصفوفات لدمج مصفوفتين في مصفوفة ناتج واحدة. فعند ضرب مصفوفتين من الحجم 3×3 وهما A وB، يكون الناتج \(C = A \times B\) مصفوفة من الحجم 3×3 أيضًا. ويُحسب كل عنصر في المصفوفة C على أنه الضرب الداخلي (الجداء النقطي) بين أحد صفوف A وأحد أعمدة B. ويُعدّ ضرب المصفوفات من المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي ورسوميات الحاسوب والفيزياء والهندسة، إذ يُستعمل في التحويلات والدورانات وحل أنظمة المعادلات وغير ذلك الكثير.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الأرقام التسعة الخاصة بالمصفوفة A في الشبكة الأولى 3×3، ثم أدخل الأرقام التسعة للمصفوفة B في الشبكة الثانية. اضغط على زر الحساب لتُظهر لك الأداة مصفوفة الناتج الكاملة C من الحجم 3×3. والأداة تدعم الأعداد العشرية والسالبة. وتذكّر أن ضرب المصفوفات غير تبادلي، أي أن \(A \times B\) لا يساوي عادةً \(B \times A\).
شرح الصيغة الرياضية
يُحسب العنصر الواقع في الصف i والعمود j من مصفوفة الناتج على النحو التالي:
$$C_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + A_{i3} \cdot B_{3j}$$وببساطة: امضِ على طول الصف i من المصفوفة A ونزولًا في العمود j من المصفوفة B، واضرب العناصر المتقابلة، ثم اجمع الجداءات الثلاثة. كرّر هذه العملية مع المواضع التسعة جميعها لتملأ مصفوفة الناتج.
مثال محلول
لنفترض أن A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] وأن B هي مصفوفة الوحدة [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. عند ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة نحصل على المصفوفة الأصلية نفسها، أي أن \(C = A\). على سبيل المثال $$C_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$$ و $$C_{23} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6$$
كيفية ضرب مصفوفات 3×3 يدويًا
- تحقق من الأبعاد. يتم تعريف الناتج \(A\times B\) فقط عندما يكون عدد أعمدة \(A\) مساويًا لعدد صفوف \(B\). بالنسبة لمصفوفتين 3×3، يتم استيفاء هذا تلقائيًا، والنتيجة \(C\) هي أيضًا 3×3.
- اختر إدخالاً مستهدفًا \(C_{ij}\). اختر الصف \(i\) (1 أو 2 أو 3) والعمود \(j\) (1 أو 2 أو 3) من النتيجة التي تريد ملأها.
- حدد الصف \(i\) من \(A\) والعمود \(j\) من \(B\). ستدمج الأرقام الثلاثة في ذلك الصف من \(A\) مع الأرقام الثلاثة في هذا العمود من \(B\).
- اضرب العناصر المتطابقة. طابق الأول مع الأول، والثاني مع الثاني، والثالث مع الثالث: \(a_{i1}b_{1j}\)، \(a_{i2}b_{2j}\)، و\(a_{i3}b_{3j}\).
- اجمع الثلاث منتجات. أضفها للحصول على إدخال واحد: \(C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}\). هذا هو بالضبط الناتج الداخلي للصف والعمود.
- كرر لجميع التسع مواضع. تصفح كل مجموعة من \(i=1,2,3\) و\(j=1,2,3\) — تسع نواتج داخلية إجمالاً، كل منها يستخدم ثلاث عمليات ضرب وعمليتي جمع.
- جمّع مصفوفة الناتج. ضع كل \(C_{ij}\) في موضعه من الصف \(i\) والعمود \(j\) لتشكيل المصفوفة 3×3 النهائية \(C\). احرص على تتبع الإشارات عند التعامل مع الإدخالات السالبة.
المصطلحات والتعريفات الأساسية
- المصفوفة
- مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة؛ المصفوفة 3×3 لها ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (تسعة إدخالات).
- الإدخال / العنصر
- رقم واحد في المصفوفة، مكتوب على شكل \(a_{ij}\)، حيث \(i\) هو صفه و\(j\) هو عموده.
- الصف
- خط أفقي من الإدخالات. الصف \(i\) من مصفوفة 3×3 هو \((a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})\).
- العمود
- خط عمودي من الإدخالات. العمود \(j\) هو \((a_{1j}, a_{2j}, a_{3j})\).
- الناتج الداخلي
- مجموع منتجات المكونات المتطابقة من قائمتين متساويتي الطول: \(\sum_k a_k b_k\). كل إدخال ناتج \(C_{ij}\) هو الناتج الداخلي للصف \(i\) من \(A\) والعمود \(j\) من \(B\).
- مصفوفة الناتج
- النتيجة \(C = A\times B\)، التي إدخالها \(C_{ij}\) هو الناتج الداخلي للصف \(i\) من \(A\) مع العمود \(j\) من \(B\).
- مصفوفة الهوية
- المصفوفة المربعة \(I\) التي تحتوي على 1s على القطر الرئيسي و0s في مكان آخر. تحقق \(A\times I = I\times A = A\) لأي \(A\) متوافق.
- التبادلية
- العملية تبادلية إذا لم يكن الترتيب مهمًا. ضرب المصفوفات عام ليس تبادليًا: عادة \(A\times B \neq B\times A\).
- التوافق / قاعدة الأبعاد
- يمكن ضرب مصفوفتين فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد صفوف الثانية. المصفوفة \(m\times n\) مضروبة في مصفوفة \(n\times p\) ينتج عنها نتيجة \(m\times p\).
الأسئلة الشائعة
هل \(A \times B\) يساوي \(B \times A\)؟ لا. فضرب المصفوفات ليس تبادليًا، وتبديل الترتيب يعطي عادةً نتيجة مختلفة.
هل يمكنني ضرب مصفوفتين بأحجام مختلفة؟ لا يمكن ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد صفوف الثانية. وأي مصفوفتين من الحجم 3×3 تحققان هذا الشرط دائمًا.
ما الذي يحدث عند الضرب في مصفوفة الوحدة؟ تعمل مصفوفة الوحدة تمامًا مثل العدد 1، فإن \(A \times I = A\) وتبقى المصفوفة دون تغيير.
