ما المقصود بضرب المصفوفات 2×2؟
ضرب المصفوفات هو عملية تدمج مصفوفتين في مصفوفة ناتجة واحدة. فإذا كان لدينا مصفوفتان من النوع 2×2 وهما A وB، فإن حاصل ضربهما \(C = A \cdot B\) هو أيضًا مصفوفة من النوع 2×2. ويُحسب كل عنصر من عناصر C بأخذ صف من المصفوفة A وعمود من المصفوفة B، ثم ضرب العناصر المتقابلة وجمع النواتج — وهي عملية «صف في عمود» تُعرف بالضرب القياسي (الجداء النقطي). تتولى هذه الحاسبة حساب العناصر الأربعة للمصفوفة C انطلاقًا من الأرقام الثمانية التي تُدخلها.
طريقة استخدام الحاسبة
أدخل العناصر الأربعة للمصفوفة A (وهي A₁₁ وA₁₂ وA₂₁ وA₂₂)، ثم العناصر الأربعة للمصفوفة B بالترتيب نفسه صفًّا تلو الآخر. اضغط على زر الحساب لتعرض لك الأداة المصفوفة الناتجة C في شبكة 2×2، إلى جانب كل عنصر على حدة. ويمكن أن تكون القيم موجبة أو سالبة أو عشرية.
شرح القاعدة الحسابية
بالنسبة إلى المصفوفات من النوع 2×2 تكون القاعدة كالتالي:
$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$
$$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$
$$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$
$$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$
وبصورة عامة، يساوي العنصر \(c_{ij}\) مجموع حاصل ضرب \(a_{ik} \cdot b_{kj}\) عند جميع قيم \(k\). ومن المهم الانتباه إلى أن ضرب المصفوفات غير إبدالي؛ أي أن \(A \cdot B\) يختلف عادةً عن \(B \cdot A\).
مثال محلول
لنفترض أن A = [[1، 2]، [3، 4]] وأن B = [[5، 6]، [7، 8]]. عندئذٍ:
$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$
$$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$
$$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$
$$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$
وبذلك تكون C = [[19، 22]، [43، 50]].
المزيد من الأمثلة المحلولة
كل حاصل ضرب \(C = A \cdot B\) يُوجَد بحساب الضرب النقطي لصف من \(A\) مع عمود من \(B\). الدخل \(C_{ij}\) يستخدم الصف \(i\) من \(A\) والعمود \(j\) من \(B\): \(C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}\).
المثال 1 — قيم سالبة وعشرية
لتكن \(A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}\) و \(B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}\).
- \(C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5\)
- \(C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75\)
- \(C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4\)
- \(C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2\)
إذاً \(C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\). الدخل في الزاوية اليسرى العليا هو -5.
المثال 2 — الضرب بمصفوفة الهوية
لتكن \(A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) و \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). ضرب أي مصفوفة بمصفوفة الهوية يُرجع المصفوفة الأصلية.
- \(C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7\)
- \(C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2\)
- \(C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3\)
- \(C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5\)
إذاً \(A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A\)، مما يؤكد أن \(I\) تعمل كمحايد الضرب.
المثال 3 — إظهار أن \(A \cdot B \neq B \cdot A\)
لتكن \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) و \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\).
أولاً، \(A \cdot B\):
- \(C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10\)
- \(C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13\)
- \(C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20\)
- \(C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27\)
\(A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}\)؛ الدخل في الزاوية اليسرى العليا هو 10.
الآن بعكس الترتيب، \(B \cdot A\):
- \(C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3\)
- \(C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4\)
- \(C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23\)
- \(C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34\)
\(B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)؛ الدخل في الزاوية اليسرى العليا هو 3.
بما أن \(\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)، فإن ضرب المصفوفات ليس تبديلياً: ترتيب العوامل مهم.
التعريفات والمعجم
- مصفوفة
- مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة، مكتوبة بين قوسين. يُعطى حجمها كـ (الصفوف) × (الأعمدة).
- مصفوفة 2×2
- مصفوفة مربعة بها صفان وعمودان، تحتوي على أربعة دخلات بالضبط: \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\).
- دخل / عنصر (\(a_{ij}\))
- رقم واحد داخل المصفوفة. الرمز المرتفع \(a_{ij}\) يحدد موقعه: \(i\) هو رقم الصف و \(j\) هو رقم العمود. على سبيل المثال، \(a_{21}\) هو الدخل في الصف 2، العمود 1.
- صف
- خط أفقي من الدخلات. في مصفوفة 2×2، الصف 1 هو \([a_{11}\ \ a_{12}]\) والصف 2 هو \([a_{21}\ \ a_{22}]\).
- عمود
- خط رأسي من الدخلات. في مصفوفة 2×2، العمود 1 هو \(\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\) والعمود 2 هو \(\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}\).
- الضرب النقطي
- مجموع الضربات الثنائية للدخلات المتناظرة لصف وعمود. كل دخل من حاصل الضرب للمصفوفة هو الضرب النقطي لصف من \(A\) مع عمود من \(B\)، مثل \(C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\).
- مصفوفة حاصل الضرب \(C\)
- النتيجة من ضرب مصفوفتين، \(C = A \cdot B\). بالنسبة للمصفوفات 2×2، \(C\) هي أيضاً 2×2، مع كل دخل \(C_{ij}\) مشكل من الصف \(i\) من \(A\) والعمود \(j\) من \(B\).
- مصفوفة الهوية (\(I\))
- المصفوفة المربعة التي تحتوي على 1 على القطر الرئيسي و 0 في أماكن أخرى. مصفوفة الهوية 2×2 هي \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). وهي تحقق \(A \cdot I = I \cdot A = A\)، وتعمل كمثيل للرقم 1 في الضرب.
- التبديلية
- خاصية حيث ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة (مثلاً \(2 \times 3 = 3 \times 2\)). ضرب المصفوفات ليس تبديلياً بشكل عام: عادة \(A \cdot B \neq B \cdot A\)، لذلك يجب الحفاظ على العوامل اليسرى واليمنى بترتيبها المذكور.
الأسئلة الشائعة
هل A·B تساوي B·A؟ لا. ضرب المصفوفات غير إبدالي في العموم، لذا فإن ترتيب المصفوفتين مهم ويؤثر في الناتج.
هل يمكنني ضرب مصفوفتين بأحجام مختلفة؟ لا يمكن ضرب مصفوفتين إلا إذا تساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. والمصفوفتان من النوع 2×2 تحققان هذا الشرط دائمًا.
ما هي مصفوفة الوحدة؟ مصفوفة الوحدة من النوع 2×2 هي [[1، 0]، [0، 1]]. وضرب أي مصفوفة بها يبقيها دون تغيير.
