2×2 मैट्रिक्स गुणन क्या है?

मैट्रिक्स गुणन में दो मैट्रिक्स मिलकर एक गुणनफल मैट्रिक्स बनाते हैं। दो 2×2 मैट्रिक्स A और B के लिए गुणनफल $C = A \cdot B$ भी एक 2×2 मैट्रिक्स ही होता है। C का हर अवयव निकालने के लिए A की एक पंक्ति और B के एक स्तंभ को लिया जाता है, उनके संगत तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर सभी गुणनफलों को जोड़ दिया जाता है — यानी "पंक्ति गुणा स्तंभ" वाला डॉट गुणनफल। यह कैलकुलेटर आपके डाले गए आठ अंकों से C के चारों अवयव गणना करके देता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

मैट्रिक्स A के चारों अवयव (A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂) डालें और इसी पंक्ति-दर-पंक्ति क्रम में मैट्रिक्स B के चारों अवयव भी भरें। "गणना करें" पर क्लिक करते ही यह टूल गुणनफल मैट्रिक्स C को 2×2 ग्रिड में दिखाता है, साथ ही उसके हर अलग-अलग अवयव को भी। आप धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव मान डाल सकते हैं।

सूत्र की व्याख्या

2×2 मैट्रिक्स के लिए नियम इस प्रकार है:

$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$

सामान्य रूप में अवयव $c_{ij}$, सभी $k$ पर $a_{ik} \cdot b_{kj}$ का योग होता है। ध्यान रहे कि मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता: $A \cdot B$ आमतौर पर $B \cdot A$ से अलग होता है।

आरेख जिसमें मैट्रिक्स A की एक पंक्ति को मैट्रिक्स B के एक स्तंभ से गुणा करके गुणनफल मैट्रिक्स C का एक तत्व बनता है — C का प्रत्येक तत्व A की एक पंक्ति और B के एक स्तंभ का डॉट गुणनफल है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$। तब:

$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$

इसलिए $C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$।

2x2 गुणनफल मैट्रिक्स के चार तत्वों की चरण-दर-चरण गणना — चार गुणनफल तत्व c11, c12, c21, c22 प्रत्येक दो गुणाओं को जोड़ते हैं।

अधिक हल किए गए उदाहरण

प्रत्येक गुणनफल $C = A \cdot B$ को $A$ की एक पंक्ति के साथ $B$ के एक स्तंभ का बिंदु गुणनफल लेकर प्राप्त किया जाता है। प्रविष्टि $C_{ij}$ $A$ की पंक्ति $i$ और $B$ के स्तंभ $j$ का उपयोग करती है: $C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}$।

उदाहरण 1 — नकारात्मक और दशमलव प्रविष्टियाँ

$A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}$ मान लें।

$C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5$
$C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75$
$C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4$
$C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2$

तो $C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$। शीर्ष-बाएँ प्रविष्टि है -5।

उदाहरण 2 — पहचान मैट्रिक्स से गुणा करना

$A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ मान लें। किसी भी मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स से गुणा करने पर मूल मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

$C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7$
$C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2$
$C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3$
$C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5$

तो $A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A$, यह पुष्टि करते हुए कि $I$ गुणात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है।

उदाहरण 3 — दिखाना कि $A \cdot B \neq B \cdot A$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ मान लें।

पहले, $A \cdot B$:

$C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10$
$C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13$
$C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20$
$C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27$

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}$; शीर्ष-बाएँ प्रविष्टि है 10।

अब क्रम को उलट दें, $B \cdot A$:

$C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3$
$C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4$
$C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23$
$C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34$

$B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$; शीर्ष-बाएँ प्रविष्टि है 3।

चूँकि $\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है: कारकों का क्रम महत्वपूर्ण है।

परिभाषाएँ और शब्दावली

मैट्रिक्स: कोष्ठकों के बीच पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित संख्याओं की एक आयताकार सरणी। इसका आकार (पंक्तियाँ) × (स्तंभ) के रूप में दिया जाता है।
2×2 मैट्रिक्स: दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाला एक वर्गाकार मैट्रिक्स, जिसमें बिल्कुल चार प्रविष्टियाँ हों: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$।
प्रविष्टि / तत्व ($a_{ij}$): मैट्रिक्स के अंदर एक एकल संख्या। सबस्क्रिप्ट संकेतन $a_{ij}$ इसकी स्थिति की पहचान करता है: $i$ पंक्ति संख्या है और $j$ स्तंभ संख्या है। उदाहरण के लिए, $a_{21}$ पंक्ति 2, स्तंभ 1 में प्रविष्टि है।
पंक्ति: प्रविष्टियों की एक क्षैतिज पंक्ति। 2×2 मैट्रिक्स में, पंक्ति 1 है $[a_{11}\ \ a_{12}]$ और पंक्ति 2 है $[a_{21}\ \ a_{22}]$।
स्तंभ: प्रविष्टियों की एक लंबवत पंक्ति। 2×2 मैट्रिक्स में, स्तंभ 1 है $\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}$ और स्तंभ 2 है $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}$।
बिंदु गुणनफल: एक पंक्ति और एक स्तंभ की संगत प्रविष्टियों के युग्मबद्ध गुणनफल का योग। गुणनफल मैट्रिक्स की प्रत्येक प्रविष्टि $A$ की एक पंक्ति के साथ $B$ के एक स्तंभ का बिंदु गुणनफल है, जैसे $C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}$।
गुणनफल मैट्रिक्स $C$: दो मैट्रिक्स के गुणन का परिणाम, $C = A \cdot B$। 2×2 मैट्रिक्स के लिए, $C$ भी 2×2 है, जिसमें प्रत्येक प्रविष्टि $C_{ij}$ $A$ की पंक्ति $i$ और $B$ के स्तंभ $j$ से बनता है।
पहचान मैट्रिक्स ($I$): मुख्य विकर्ण पर 1 और अन्य जगह 0 वाली वर्गाकार मैट्रिक्स। 2×2 पहचान है $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$। यह $A \cdot I = I \cdot A = A$ को संतुष्ट करता है, गुणन में संख्या 1 की तरह कार्य करता है।
क्रमविनिमेयता: एक गुण जहाँ संचालकों का क्रम परिणाम को नहीं बदलता (जैसे $2 \times 3 = 3 \times 2$)। मैट्रिक्स गुणन सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं है: आमतौर पर $A \cdot B \neq B \cdot A$, इसलिए बाएँ और दाएँ कारकों को उनके कथित क्रम में रखना चाहिए।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या A·B और B·A एक ही होते हैं? नहीं। मैट्रिक्स गुणन आमतौर पर क्रमविनिमेय नहीं होता, इसलिए क्रम मायने रखता है।

क्या मैं अलग-अलग आकार के मैट्रिक्स गुणा कर सकता हूँ? दो मैट्रिक्स को तभी गुणा किया जा सकता है जब पहले मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। दो 2×2 मैट्रिक्स यह शर्त हमेशा पूरी करते हैं।

तत्समक (identity) मैट्रिक्स क्या होता है? 2×2 तत्समक मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है। किसी भी मैट्रिक्स को इससे गुणा करने पर वह मैट्रिक्स अपरिवर्तित रहता है।

2×2 मैट्रिक्स गुणन कैलकुलेटर

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