Nhân ma trận 2×2 là gì?
Phép nhân ma trận kết hợp hai ma trận thành một ma trận tích duy nhất. Với hai ma trận 2×2 là A và B, tích \(C = A \cdot B\) cũng là một ma trận 2×2. Mỗi phần tử của C được tính bằng cách lấy một hàng của A nhân với một cột của B: nhân các phần tử tương ứng rồi cộng lại — chính là tích vô hướng "hàng nhân cột". Máy tính này sẽ tính cả bốn phần tử của C từ tám con số bạn nhập vào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập bốn phần tử của ma trận A (A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂) và bốn phần tử của ma trận B theo cùng thứ tự từng hàng. Nhấn nút tính toán, công cụ sẽ trả về ma trận tích C được trình bày dưới dạng lưới 2×2, kèm theo giá trị của từng phần tử. Các giá trị có thể là số dương, số âm hoặc số thập phân.
Giải thích công thức
Với ma trận 2×2, quy tắc tính như sau:
$$c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11}\cdot b_{12} + a_{12}\cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21}\cdot b_{11} + a_{22}\cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21}\cdot b_{12} + a_{22}\cdot b_{22}$$Tổng quát, phần tử \(c_{ij}\) bằng tổng theo k của \(a_{ik}\cdot b_{kj}\):
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{2} a_{ik}\, b_{kj}$$Lưu ý rằng phép nhân ma trận không có tính giao hoán: \(A \cdot B\) thường khác \(B \cdot A\).
Ví dụ minh họa
Cho A = [[1, 2], [3, 4]] và B = [[5, 6], [7, 8]]. Khi đó:
$$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$Vậy C = [[19, 22], [43, 50]].
Thêm các ví dụ đã giải
Mỗi tích \(C = A \cdot B\) được tính bằng cách lấy tích vô hướng của một hàng của \(A\) với một cột của \(B\). Phần tử \(C_{ij}\) sử dụng hàng \(i\) của \(A\) và cột \(j\) của \(B\): \(C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}\).
Ví dụ 1 — Các phần tử âm và số thập phân
Cho \(A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}\) và \(B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}\).
- \(C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5\)
- \(C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75\)
- \(C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4\)
- \(C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2\)
Vì vậy \(C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\). Phần tử ở góc trên cùng bên trái là -5.
Ví dụ 2 — Nhân với ma trận đơn vị
Cho \(A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) và \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Nhân bất kỳ ma trận nào với ma trận đơn vị sẽ trả về ma trận ban đầu.
- \(C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7\)
- \(C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2\)
- \(C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3\)
- \(C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5\)
Vì vậy \(A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A\), xác nhận rằng \(I\) hoạt động như phần tử đơn vị trong phép nhân.
Ví dụ 3 — Chỉ ra rằng \(A \cdot B \neq B \cdot A\)
Cho \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) và \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\).
Trước tiên, \(A \cdot B\):
- \(C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10\)
- \(C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13\)
- \(C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20\)
- \(C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27\)
\(A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}\); phần tử ở góc trên cùng bên trái là 10.
Bây giờ đảo ngược thứ tự, \(B \cdot A\):
- \(C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3\)
- \(C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4\)
- \(C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23\)
- \(C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34\)
\(B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\); phần tử ở góc trên cùng bên trái là 3.
Vì \(\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\), phép nhân ma trận không giao hoán: thứ tự của các thừa số có ảnh hưởng.
Định nghĩa & Thuật ngữ
- Ma trận
- Một mảng hình chữ nhật chứa các số được sắp xếp thành các hàng và cột, viết giữa các dấu ngoặc. Kích thước của nó được cho dưới dạng (hàng) × (cột).
- Ma trận 2×2
- Một ma trận vuông với hai hàng và hai cột, chứa chính xác bốn phần tử: \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\).
- Phần tử / thành phần (\(a_{ij}\))
- Một số duy nhất bên trong ma trận. Ký hiệu chỉ số \(a_{ij}\) xác định vị trí của nó: \(i\) là số hàng và \(j\) là số cột. Ví dụ, \(a_{21}\) là phần tử ở hàng 2, cột 1.
- Hàng
- Một dòng ngang các phần tử. Trong một ma trận 2×2, hàng 1 là \([a_{11}\ \ a_{12}]\) và hàng 2 là \([a_{21}\ \ a_{22}]\).
- Cột
- Một dòng thẳng đứng các phần tử. Trong một ma trận 2×2, cột 1 là \(\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\) và cột 2 là \(\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}\).
- Tích vô hướng
- Tổng của các tích từng cặp các phần tử tương ứng của một hàng và một cột. Mỗi phần tử của ma trận tích là tích vô hướng của một hàng của \(A\) với một cột của \(B\), ví dụ \(C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\).
- Ma trận tích \(C\)
- Kết quả của phép nhân hai ma trận, \(C = A \cdot B\). Đối với các ma trận 2×2, \(C\) cũng là 2×2, với mỗi phần tử \(C_{ij}\) được tạo từ hàng \(i\) của \(A\) và cột \(j\) của \(B\).
- Ma trận đơn vị (\(I\))
- Ma trận vuông có 1 trên đường chéo chính và 0 ở các nơi khác. Ma trận đơn vị 2×2 là \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Nó thỏa mãn \(A \cdot I = I \cdot A = A\), hoạt động như số 1 trong phép nhân.
- Tính giao hoán
- Một tính chất trong đó thứ tự của các toán hạng không làm thay đổi kết quả (ví dụ \(2 \times 3 = 3 \times 2\)). Phép nhân ma trận không giao hoán nói chung: thường \(A \cdot B \neq B \cdot A\), do đó các thừa số bên trái và bên phải phải được giữ theo thứ tự đã cho.
Câu hỏi thường gặp
A·B có bằng B·A không? Không. Phép nhân ma trận nhìn chung không có tính giao hoán, nên thứ tự nhân rất quan trọng.
Tôi có thể nhân các ma trận khác kích thước không? Hai ma trận chỉ nhân được với nhau khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Hai ma trận 2×2 luôn thỏa mãn điều kiện này.
Ma trận đơn vị là gì? Ma trận đơn vị cấp 2×2 là [[1, 0], [0, 1]]. Nhân bất kỳ ma trận nào với nó thì ma trận đó vẫn giữ nguyên không đổi.
