什么是 2×2 矩阵乘法？
矩阵乘法是把两个矩阵相乘，合并成一个新的乘积矩阵。对于两个 2×2 矩阵 A 和 B，它们的乘积 \(C = A \cdot B\) 同样是一个 2×2 矩阵。C 中的每个元素，都是用 A 的某一行与 B 的某一列对应相乘、再把结果相加得到的，也就是常说的"行乘列"点积。本计算器会根据你输入的 8 个数字，自动算出 C 的全部四个元素。
如何使用本计算器
先按从左到右、从上到下的顺序，依次填入矩阵 A 的四个元素（A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂），再用同样的顺序填入矩阵 B 的四个元素。点击计算后，工具会以 2×2 表格的形式给出乘积矩阵 C，并列出每一个元素的具体数值。输入值可以是正数、负数或小数。
公式详解
对于 2×2 矩阵，计算规则如下：
$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$更一般地，元素 \(c_{ij}\) 等于 \(a_{ik} \cdot b_{kj}\) 对所有 \(k\) 求和的结果。
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{2} a_{ik}\, b_{kj}$$需要特别注意：矩阵乘法不满足交换律，\(A \cdot B\) 通常并不等于 \(B \cdot A\)。
实例演算
设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)，则：
$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$所以 \(C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\)。
更多已解决的例子
每个乘积 \(C = A \cdot B\) 是通过将 \(A\) 的一行与 \(B\) 的一列进行点积得到的。条目 \(C_{ij}\) 使用 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列：\(C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}\)。
例 1 — 负数和小数条目
设 \(A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}\) 和 \(B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}\)。
- \(C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5\)
- \(C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75\)
- \(C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4\)
- \(C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2\)
所以 \(C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\)。左上角条目是 -5。
例 2 — 乘以单位矩阵
设 \(A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) 和 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。任何矩阵乘以单位矩阵都会返回原始矩阵。
- \(C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7\)
- \(C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2\)
- \(C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3\)
- \(C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5\)
所以 \(A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A\)，确认 \(I\) 充当乘法单位元。
例 3 — 证明 \(A \cdot B \neq B \cdot A\)
设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 和 \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\)。
首先，\(A \cdot B\)：
- \(C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10\)
- \(C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13\)
- \(C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20\)
- \(C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27\)
\(A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}\)；左上角条目是 10。
现在反向顺序，\(B \cdot A\)：
- \(C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3\)
- \(C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4\)
- \(C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23\)
- \(C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34\)
\(B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)；左上角条目是 3。
因为 \(\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)，矩阵乘法是不可交换的：因子的顺序很重要。
定义和词汇表
- 矩阵
- 排列在行和列中的数字的矩形数组，写在括号之间。其大小表示为（行数）×（列数）。
- 2×2 矩阵
- 具有两行和两列的方形矩阵，包含四个条目：\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)。
- 条目/元素 (\(a_{ij}\))
- 矩阵内的单个数字。下标记号 \(a_{ij}\) 标识其位置：\(i\) 是行号，\(j\) 是列号。例如，\(a_{21}\) 是第 2 行第 1 列的条目。
- 行
- 一条水平线的条目。在 2×2 矩阵中，第 1 行是 \([a_{11}\ \ a_{12}]\)，第 2 行是 \([a_{21}\ \ a_{22}]\)。
- 列
- 一条竖直线的条目。在 2×2 矩阵中，第 1 列是 \(\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\)，第 2 列是 \(\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}\)。
- 点积
- 一行和一列对应条目的成对乘积之和。乘积矩阵的每个条目是 \(A\) 的一行与 \(B\) 的一列的点积，例如 \(C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\)。
- 乘积矩阵 \(C\)
- 两个矩阵相乘的结果，\(C = A \cdot B\)。对于 2×2 矩阵，\(C\) 也是 2×2，每个条目 \(C_{ij}\) 由 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列组成。
- 单位矩阵 (\(I\))
- 主对角线上为 1、其他地方为 0 的方形矩阵。2×2 单位矩阵是 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。它满足 \(A \cdot I = I \cdot A = A\)，在乘法中就像数字 1 一样。
- 可交换性
- 操作数的顺序不改变结果的一种属性（例如 \(2 \times 3 = 3 \times 2\)）。矩阵乘法一般是不可交换的：通常 \(A \cdot B \neq B \cdot A\)，因此左因子和右因子必须按所述的顺序保持。
常见问题
A·B 和 B·A 一样吗？不一样。矩阵乘法一般不满足交换律，相乘的先后顺序会影响结果。
不同大小的矩阵可以相乘吗？只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。两个 2×2 矩阵始终满足这一条件。
什么是单位矩阵？2×2 的单位矩阵是 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。任何矩阵乘以单位矩阵，结果都保持不变。
