什么是矩阵幂计算器？
本工具用于计算方阵 A 的整数次幂 n，记作 \(A^{n}\)。它会把矩阵自乘 n 次，并返回最终的结果矩阵，适用于元素为实数的 2×2、3×3 和 4×4 矩阵。矩阵幂在线性代数中应用广泛：马尔可夫链与转移矩阵、图的邻接矩阵幂（用于统计路径数）、离散动力系统，以及斐波那契数列等递推关系。
使用方法
先选择矩阵的阶数，然后在网格中逐个填入 A 的每个元素（可以输入小数和负数），接着输入整数指数 \(n\) 并开始计算。当 \(n = 0\) 时得到单位矩阵；\(n = 1\) 时返回 A 本身；任意 \(n \geq 2\) 时执行多次连乘。若 A 可逆，你还可以输入负数 \(n\)，此时会先求出逆矩阵，再将其提升到 \(\left|n\right|\) 次幂。
计算公式
矩阵幂由递归方式定义：\(A^{0} = I\)（单位矩阵），\(A^{1} = A\)，\(A^{n} = A \cdot A^{n-1}\)。
$$A^{\,n} = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n\ \text{times}}$$两个 j×j 矩阵的乘积 \(C = A \cdot B\)，其元素为 \(C[i][k] = \sum A[i][m] \cdot B[m][k]\)。本计算器采用「快速幂（平方法）」以提升运算效率，但结果与逐次连乘完全一致。需要注意的是，只有当 A 为方阵（行数 = 列数）时，矩阵幂才有定义。
实例演示
设 \(A = [[1, 2], [3, 4]]\)，\(n = 2\)。则 \(A^2 = A \cdot A\)，得到 \(c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7\)，\(c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10\)，\(c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15\)，\(c_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 22\)，所以 $$A^2 = [[7, 10], [15, 22]]$$ 再平方一次（或计算 \(A^3 = A^2 \cdot A\)）即得 $$A^3 = [[37, 54], [81, 118]]$$
常见问题
n = 0 时返回什么？ 按惯例返回同阶的单位矩阵 \(I\)。
可以使用负指数吗？ 可以，前提是 A 可逆（行列式 ≠ 0）。\(A^{-k}\) 等于 \(\left(A^{-1}\right)^{k}\)。如果行列式为 0，则结果无定义，计算器会给出提示。其一般形式为 $$A^{\,n} = \left(A^{-1}\right)^{\left|n\right|},\quad \det(A) \neq 0$$
为什么有些元素会显示极小的小数？ 当指数较大或元素数值较大时，浮点运算的舍入误差会累积；结果保留约 14 位有效数字。
