什么是矩阵的伴随（厄米共轭）？
伴随矩阵记作 \(A^{*}\)、\(A^{\dagger}\)（带匕首符号）或 \(A^{\mathsf{H}}\)，它就是矩阵 \(A\) 的共轭转置。求解只需两步：先对 \(A\) 转置（行列互换），再把每个元素替换为它的复共轭（实部保留，虚部取相反数）。如果 \(A\) 是 \(m\times n\) 的，那么 \(A^{*}\) 就是 \(n\times m\) 的。需要特别说明的是，这里指的是线性代数和量子力学中使用的厄米共轭，而不是用于矩阵求逆的「伴随矩阵」（即由代数余子式构成矩阵的转置，英文称 adjugate，中文也常译作伴随矩阵，两者容易混淆）。
如何使用本计算器
输入矩阵时，每行占一行，单元格之间用逗号或空格分隔。实数单元格直接写普通数字即可，例如 3 或 -2.5。复数单元格采用 a+bi 形式，例如 2+3i、-1-2i、4i，或者直接写 -i。把行数和列数设置成与数据匹配的值，选好显示精度，工具就会输出维度互换后的 \(A^{*}\)。
公式详解
把每个元素写成 \(a_{kl} = x_{kl} + i\cdot y_{kl}\)。伴随矩阵 \(B = A^{*}\) 的元素为 $$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ 其中下标顺序的对调对应转置，虚部 \(y\) 的符号取反对应共轭。完整地写出来即 $$A^{*} = \overline{A^{\mathsf{T}}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathsf{T}}, \quad b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ 当所有虚部为零时，\(A^{*} = A^{\mathsf{T}} \quad (\text{if all } y_{ij}=0)\)。
计算示例
取 \(2\times 3\) 矩阵 $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}.$$ 转置后得到 \(3\times 2\) 的排布，再对每个元素取共轭，即得 $$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}.$$ 可以看到，\(2+3i\) 变成 \(2-3i\)，\(-i\) 变成 \(+i\)，而实数 \(5\) 保持不变。
伴随矩阵（共轭转置）的性质
矩阵的伴随矩阵（Hermitian共轭）是通过转置矩阵，然后对每一项取复共轭得到的：\(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。记号 \(A^{*}\)、\(A^{H}\) 和 \(A^{\dagger}\) 都表示同一种运算。下面的恒等式对任意相容大小的复矩阵成立（以及任意复数标量 \(c\)）。
| 性质 | 恒等式 | 说明 |
|---|---|---|
| 对合性 | \((A^{*})^{*} = A\) | 对伴随矩阵应用两次会返回原矩阵。 |
| 可加性 | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | 要求 \(A\) 和 \(B\) 的大小相同。 |
| 共轭齐次性 | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | 标量取出时被共轭，例如 \((iA)^{*} = -iA^{*}\)。 |
| 乘积反序 | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | 因子顺序被反转（反同态）。 |
| 逆矩阵 | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | 当 \(A\) 可逆时成立；伴随矩阵和逆矩阵可交换。 |
| 行列式 | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | 仅适用于方阵 \(A\)；行列式被共轭。 |
由于共轭对实数保持不变，当所有项都是实数时，上述每个恒等式都可化为其实矩阵对应形式（其中 \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)）。
关键术语
- 共轭转置/伴随矩阵 \(A^{*}\)
- 通过转置 \(A\) 并共轭每一项得到的矩阵：\((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。也叫做Hermitian共轭或Hermitian伴随矩阵。
- 复共轭
- 对于 \(z = a + bi\)，共轭是 \(\overline{z} = a - bi\)：虚部的符号被翻转，而实部保持不变。
- 转置 \(A^{\mathsf{T}}\)
- 沿主对角线的反射，交换行和列：\((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\)。不应用共轭。
- Hermitian矩阵
- 等于其自身伴随矩阵的方阵，\(A^{*} = A\)。其对角项为实数，其特征值为实数。
- 反Hermitian矩阵
- 满足 \(A^{*} = -A\) 的方阵。其对角项为纯虚数（或零），其特征值为纯虚数。
- 幺正矩阵
- 其伴随矩阵是其逆矩阵的方阵，\(A^{*}A = AA^{*} = I\)。幺正矩阵保持复内积，其特征值的模为1。
- 伴随矩阵（古典伴随）
- 尽管名称相似但是一个不同的概念：余因子矩阵的转置，用于 \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\)。它与共轭转置 \(A^{*}\) 无关。
- 匕首记号 \(A^{\dagger}\)
- 物理学中（特别是量子力学中）常用的共轭转置符号；\(A^{\dagger}\)、\(A^{H}\) 和 \(A^{*}\) 都表示同一种运算。
常见问题
伴随和转置是一回事吗？只有对实数矩阵才相同。一旦含有复数元素，还必须取共轭，因此两者并不一致。
什么是厄米矩阵？就是等于自身伴随的方阵，即 \(A^{*} = A\)。你可以把输出与输入对比一下来验证。
这是求逆时用到的那个伴随矩阵吗？不是。求逆用的伴随矩阵（adjugate，经典伴随）是代数余子式矩阵的转置；本工具计算的是共轭转置。
