행렬의 수반행렬(에르미트 켤레)이란?
수반행렬은 A*, A†(대거), AḤ 등으로 표기하며, 행렬 A의 켤레전치를 뜻합니다. 두 단계로 만듭니다. 먼저 A를 전치하고(행과 열을 맞바꿈), 각 성분을 복소켤레로 바꿉니다(실수부는 그대로 두고 허수부의 부호를 반대로). A가 m×n이면 A*는 n×m이 됩니다. 여기서 다루는 것은 선형대수와 양자역학에서 쓰는 에르미트 켤레이며, 행렬의 역행렬을 구할 때 쓰는 "수반행렬(adjugate, 여인수 행렬의 전치)"과는 다른 개념이라는 점에 주의하세요.
이 계산기 사용법
행렬을 한 줄에 한 행씩 입력하고, 각 성분은 쉼표 또는 공백으로 구분합니다. 실수 성분은 3이나 -2.5처럼 평범한 숫자로 적습니다. 복소수 성분은 a+bi 형태를 사용합니다. 예를 들어 2+3i, -1-2i, 4i, 또는 그냥 -i처럼 입력하면 됩니다. 데이터에 맞게 행과 열의 개수를 설정하고 표시할 자릿수를 고르면, 차원이 뒤바뀐 A*를 돌려줍니다.
공식 살펴보기
각 성분을 \(a_{kl} = x_{kl} + i\cdot y_{kl}\)로 쓴다고 합시다. 수반행렬 \(B = A^{*}\)의 성분은
$$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$입니다. 첨자 쌍의 순서를 뒤집는 것이 전치이고, y의 부호를 바꾸는 것이 켤레 연산입니다. 일반적으로
$$A^{*} = \overline{A^{\mathsf{T}}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathsf{T}}$$이고, 모든 \(y_{ij}=0\)이면 \(A^{*} = A^{\mathsf{T}}\)입니다.
예제 풀이
2×3 행렬 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\)를 생각해 봅시다. 전치하면 3×2 형태가 되고, 각 성분의 켤레를 취하면
$$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$가 됩니다. 즉 \(2+3i\)는 \(2-3i\)가 되고, \(-i\)는 \(+i\)가 되며, 실수인 \(5\)는 그대로 유지됩니다.
수반 행렬(켤레 전치)의 성질
행렬의 수반 행렬(에르미트 켤레)은 행렬을 전치한 후 모든 성분의 복소켤레를 취하여 얻습니다: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). 표기법 \(A^{*}\), \(A^{H}\), \(A^{\dagger}\)는 모두 같은 연산을 나타냅니다. 아래의 항등식들은 크기가 호환되는 모든 복소 행렬(그리고 모든 복소수 스칼라 \(c\))에 대해 성립합니다.
| 성질 | 항등식 | 주석 |
|---|---|---|
| 멱등성 | \((A^{*})^{*} = A\) | 수반 행렬을 두 번 적용하면 원래 행렬로 돌아옵니다. |
| 덧셈 성질 | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | \(A\)와 \(B\)가 같은 크기여야 합니다. |
| 켤레 동차성 | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | 스칼라가 켤레로 나옵니다. 예: \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| 역순 곱 | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | 인수의 순서가 바뀝니다(반준동형). |
| 역행렬 | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | \(A\)가 가역일 때 성립합니다. 수반 행렬과 역행렬은 교환합니다. |
| 행렬식 | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | 정사각형 행렬 \(A\)에만 적용됩니다. 행렬식이 켤레됩니다. |
켤레 연산은 실수를 불변으로 두므로, 모든 성분이 실수일 때 위의 모든 항등식은 실수 행렬 대응식(\(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\))으로 축소됩니다.
주요 용어
- 켤레 전치/수반 행렬 \(A^{*}\)
- \(A\)를 전치하고 모든 성분을 켤레한 행렬: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). 에르미트 켤레 또는 에르미트 수반 행렬이라고도 합니다.
- 복소켤레
- \(z = a + bi\)에 대해, 켤레는 \(\overline{z} = a - bi\)입니다: 허수 부분의 부호가 뒤바뀌고 실수 부분은 그대로 유지됩니다.
- 전치 \(A^{\mathsf{T}}\)
- 주대각선을 따라 반사하여 행과 열을 교환합니다: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). 켤레 연산은 적용되지 않습니다.
- 에르미트 행렬
- 자신의 수반 행렬과 같은 정사각형 행렬, \(A^{*} = A\). 대각 성분은 실수이고 고유값은 실수입니다.
- 반에르미트 행렬
- \(A^{*} = -A\)를 만족하는 정사각형 행렬. 대각 성분은 순허수(또는 0)이고 고유값은 순허수입니다.
- 유니터리 행렬
- 수반 행렬이 역행렬인 정사각형 행렬, \(A^{*}A = AA^{*} = I\). 유니터리 행렬은 복소 내적을 보존하고 절댓값이 1인 고유값을 갖습니다.
- 수반(고전 수반)
- 비슷한 이름에도 불구하고 다른 개념: 코팩터 행렬의 전치로, \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\)에 사용됩니다. 켤레 전치 \(A^{*}\)와는 무관합니다.
- 대거 표기 \(A^{\dagger}\)
- 켤레 전치를 나타내는 기호로 물리학(특히 양자역학)에서 일반적으로 사용됩니다. \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\), \(A^{*}\)는 모두 같은 연산을 의미합니다.
자주 묻는 질문
수반행렬은 전치행렬과 같은 건가요? 실수 행렬일 때만 같습니다. 복소수 성분이 있으면 켤레까지 취해야 하므로 서로 다릅니다.
에르미트 행렬이란 무엇인가요? 자기 자신의 수반행렬과 같은 정방행렬, 즉 \(A^{*} = A\)인 행렬입니다. 출력 결과와 입력을 비교해 확인할 수 있습니다.
이것이 역행렬을 구할 때 쓰는 수반행렬(adjugate)인가요? 아닙니다. adjugate(고전적 수반행렬)는 여인수 행렬의 전치이고, 이 도구는 켤레전치를 계산합니다.
