Bir matrisin eşleniği (Hermityen eşleniği) nedir?
A*, A† (dagger) veya AḤ biçiminde gösterilen eşlenik matris, A matrisinin eşlenik devriğidir. İki adımda elde edilir: önce A'nın devriği alınır (satırlarla sütunlar yer değiştirir), ardından her eleman karmaşık eşleniğiyle değiştirilir (gerçel kısım korunur, sanal kısmın işareti tersine çevrilir). A matrisi m×n ise A* matrisi n×m boyutundadır. Burada söz konusu olan, lineer cebirde ve kuantum mekaniğinde kullanılan Hermityen eşleniktir — matris tersini bulmakta kullanılan "ek matris" (klasik adjoint, yani kofaktör matrisinin devriği) ile karıştırılmamalıdır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Matrisinizi her satır ayrı bir satıra gelecek şekilde girin; hücreleri virgül veya boşlukla ayırın. Gerçel hücreler 3 ya da -2.5 gibi düz sayılardır. Karmaşık hücreler a+bi biçimini kullanır: 2+3i, -1-2i, 4i veya yalnızca -i. Satır ve sütun sayısını verinize uyacak biçimde ayarlayın, gösterim hassasiyetini seçin; araç boyutları yer değişmiş olarak A* matrisini verir.
Formülün açıklaması
Her elemanı \(a_{kl} = x_{kl} + i\cdot y_{kl}\) biçiminde yazın. Eşlenik matris \(B = A^{*}\), $$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ elemanlarına sahiptir. İndis çiftinin yer değiştirmesi devriği, \(y\) üzerindeki işaret değişimi ise eşliklemeyi temsil eder.
Çözümlü örnek
2×3 boyutundaki \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\) matrisini ele alalım. Devriğini aldığımızda 3×2 bir düzen oluşur ve her elemanın eşleniğini aldığımızda $$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$ elde edilir. Yani \(2+3i\) değeri \(2-3i\)'ye, \(-i\) değeri \(+i\)'ye dönüşür; gerçel sayı olan \(5\) ise değişmeden kalır.
Sık Sorulan Sorular
Eşlenik matris ile devrik aynı şey midir? Yalnızca gerçel matrislerde aynıdır. Karmaşık elemanlar söz konusu olduğunda ayrıca eşlenik almanız gerekir; bu nedenle ikisi farklıdır. \(A^{*} = A^{\mathsf{T}} \quad (\text{if all } y_{ij}=0)\)
Hermityen matris nedir? Kendi eşleniğine eşit olan kare matristir, yani \(A^{*} = A\). Bunu, çıktıyı girdiyle karşılaştırarak doğrulayabilirsiniz.
Bu, matris tersinde kullanılan ek matris (adjugate) midir? Hayır. Ek matris (klasik adjoint) kofaktör matrisinin devriğidir; bu araç ise eşlenik devriği hesaplar.
Eşlenik Transpozun Özellikleri (Hermit Eşleniği)
Bir matrisin eşlenik transpozu (Hermit eşleniği), matrisin transpozu alınıp sonra her bir girdisinin karmaşık eşleniği bulunarak elde edilir: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). \(A^{*}\), \(A^{H}\) ve \(A^{\dagger}\) gösterimleri aynı işlemi ifade eder. Aşağıdaki özdeşlikler, uyumlu boyuttaki herhangi bir karmaşık matris (ve herhangi bir karmaşık skaler \(c\)) için geçerlidir.
| Özellik | Özdeşlik | Notlar |
|---|---|---|
| Evrim | \((A^{*})^{*} = A\) | Eşlenik transpozun iki kez uygulanması orijinal matrisi verir. |
| Toplanabilirlik | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | \(A\) ve \(B\) aynı boyutta olmalıdır. |
| Eşlenik homojenlik | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | Skaler eşlenik olarak çıkar, örneğin \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| Ters sırada çarpım | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | Faktörlerin sırası tersine döner (anti-homomorfizm). |
| Ters | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | \(A\) ters çevrilebilir olduğunda geçerli; eşlenik transpoz ve ters değişebilir. |
| Determinant | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | Sadece kare \(A\) için; determinant eşlenikleştirilir. |
Eşlenikleştirme gerçek sayıları değişmeden bıraktığından, tüm girdiler gerçek olduğunda yukarıdaki her özdeşlik kendi gerçek-matris karşılığına ((\(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)) indirgenebilir.
Temel Terimler
- Eşlenik transpoz / eşlenik \(A^{*}\)
- \(A\) nın transpozu alınıp her girdisinin eşleniği bulunarak elde edilen matris: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Hermit eşleniği veya Hermit adjoint olarak da adlandırılır.
- Karmaşık eşlenik
- \(z = a + bi\) için eşlenik \(\overline{z} = a - bi\) dir: sanal kısmin işareti çevrilir, gerçek kısım aynı kalır.
- Transpoz \(A^{\mathsf{T}}\)
- Ana köşegen boyunca yansıma, satırlar ve sütunları değiştirerek: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). Eşlenikleştirme uygulanmaz.
- Hermit matrisi
- Kendi eşlenik transpozuna eşit kare matris, \(A^{*} = A\). Köşegen girdileri gerçek ve özdeğerleri gerçektir.
- Çarpık-Hermit matrisi
- \(A^{*} = -A\) koşulunu sağlayan kare matris. Köşegen girdileri tamamen sanal (veya sıfır) ve özdeğerleri tamamen sanal.
- Üniter matris
- Eşlenik transpozu inversine eşit olan kare matris, \(A^{*}A = AA^{*} = I\). Üniter matrisler karmaşık iç çarpımı korumuş ve modülü 1 olan özdeğerleri vardır.
- Adjugat (klasik adjoint)
- Benzer isme rağmen farklı bir kavram: kofaktör matrisinin transpozu, \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\) da kullanılır. Eşlenik transpoz \(A^{*}\) ile ilgisizdir.
- Hançer gösterimi \(A^{\dagger}\)
- Fizikte (özellikle kuantum mekaniğinde) eşlenik transpoz için yaygın olarak kullanılan sembol; \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\) ve \(A^{*}\) aynı işlemi ifade eder.
