Что такое сопряжённая (эрмитово сопряжённая) матрица?
Сопряжённая матрица, обозначаемая \(A^{*}\), \(A^{\dagger}\) (с крестиком, «дагер») или \(A^{\mathsf{H}}\), — это сопряжённое транспонирование матрицы A. Получают её в два шага: сначала транспонируют A (меняют местами строки и столбцы), затем каждый элемент заменяют на комплексно сопряжённый (вещественную часть оставляют, у мнимой меняют знак). Если матрица A имеет размер \(m\times n\), то \(A^{*}\) будет размера \(n\times m\). Важно: речь идёт об эрмитовом сопряжении, которое используют в линейной алгебре и квантовой механике, а не о «союзной матрице» (классическом присоединённом, или адъюгате — транспонированной матрице алгебраических дополнений), применяемой для нахождения обратной матрицы.
Как пользоваться калькулятором
Введите матрицу: каждая строка с новой строки, элементы разделяйте запятыми или пробелами. Вещественные элементы записывайте как обычные числа, например 3 или -2.5. Комплексные элементы — в форме a+bi: 2+3i, -1-2i, 4i или просто -i. Укажите число строк и столбцов, соответствующее вашим данным, выберите точность отображения — и калькулятор выдаст матрицу \(A^{*}\) с поменянными местами размерами.
Разбор формулы
Запишем каждый элемент в виде \(a_{kl} = x_{kl} + i\,y_{kl}\). Сопряжённая матрица \(B = A^{*}\) имеет элементы $$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ Перестановка индексов отвечает за транспонирование, а смена знака у y — за комплексное сопряжение.
Разобранный пример
Возьмём матрицу \(2\times 3\): \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\). После транспонирования получим раскладку \(3\times 2\), а после сопряжения каждого элемента — $$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$ То есть \(2+3i\) превращается в \(2-3i\), \(-i\) — в \(+i\), а вещественное \(5\) остаётся без изменений.
Частые вопросы
Сопряжённая матрица — это то же самое, что транспонированная? Только для вещественных матриц. Если есть комплексные элементы, их нужно ещё и сопрягать, поэтому результаты различаются. В этом случае \(A^{*} = A^{\mathsf{T}} \quad (\text{if all } y_{ij}=0)\).
Что такое эрмитова матрица? Это квадратная матрица, равная своей сопряжённой: \(A^{*} = A\). Проверить это можно, сравнив результат с исходными данными.
Это присоединённая матрица для обратной? Нет. Союзная матрица (классическое присоединённое, адъюгат) — это транспонированная матрица алгебраических дополнений, а данный калькулятор вычисляет именно сопряжённое транспонирование.
Свойства присоединённой матрицы (эрмитова сопряжения)
Присоединённая матрица (эрмитово сопряжение) получается путём транспонирования и затем взятия комплексного сопряжения каждого элемента: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Обозначения \(A^{*}\), \(A^{H}\) и \(A^{\dagger}\) обозначают одну и ту же операцию. Приведённые ниже тождества выполняются для любых комплексных матриц совместимого размера (и любого комплексного скаляра \(c\)).
| Свойство | Тождество | Примечания |
|---|---|---|
| Инволютивность | \((A^{*})^{*} = A\) | Применение присоединённой матрицы дважды возвращает исходную матрицу. |
| Аддитивность | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | Требует, чтобы \(A\) и \(B\) имели одинаковый размер. |
| Сопряжённая однородность | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | Скаляр выходит сопряжённым, например \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| Обратный порядок произведения | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | Порядок множителей обращается (антигомоморфизм). |
| Обратная матрица | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | Справедливо, когда \(A\) обратима; присоединённая матрица и обратная коммутируют. |
| Определитель | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | Только для квадратных \(A\); определитель сопрягается. |
Поскольку сопряжение оставляет действительные числа неизменными, каждое тождество выше сводится к своему аналогу для вещественных матриц (с \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)), когда все элементы являются действительными.
Ключевые термины
- Присоединённая матрица / эрмитово сопряжение \(A^{*}\)
- Матрица, полученная путём транспонирования \(A\) и сопряжения каждого элемента: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Также называется эрмитовой сопряжённой матрицей или эрмитовым адъюнктом.
- Комплексное сопряжение
- Для \(z = a + bi\) сопряжение есть \(\overline{z} = a - bi\): знак мнимой части меняется, а действительная часть остаётся прежней.
- Транспонирование \(A^{\mathsf{T}}\)
- Отражение относительно главной диагонали, обмен строк и столбцов: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). Сопряжение не применяется.
- Эрмитова матрица
- Квадратная матрица, равная своей присоединённой матрице, \(A^{*} = A\). Её диагональные элементы вещественны, а собственные значения вещественны.
- Кососимметричная матрица (косоэрмитова матрица)
- Квадратная матрица, удовлетворяющая условию \(A^{*} = -A\). Её диагональные элементы чисто мнимые (или нулевые), а собственные значения чисто мнимые.
- Унитарная матрица
- Квадратная матрица, у которой присоединённая матрица является обратной, \(A^{*}A = AA^{*} = I\). Унитарные матрицы сохраняют комплексное скалярное произведение и имеют собственные значения с модулем 1.
- Адъюнкт (классическое присоединение)
- Другое понятие несмотря на сходное названием: транспонирование матрицы алгебраических дополнений, используется в формуле \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\). Не имеет отношения к присоединённой матрице (эрмитову сопряжению) \(A^{*}\).
- Обозначение с кинжалом \(A^{\dagger}\)
- Символ, часто используемый в физике (особенно в квантовой механике) для обозначения присоединённой матрицы; \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\) и \(A^{*}\) означают одну и ту же операцию.
