随伴行列（エルミート共役）とは
随伴行列は A*、A†（ダガー）、AḤ などと表記され、行列 A の共役転置を指します。求め方は2段階です。まず A を転置し（行と列を入れ替える）、次に各成分をその複素共役に置き換えます（実部はそのまま、虚部の符号を反転）。A が m×n のとき、A* は n×m になります。これは線形代数や量子力学で用いられるエルミート共役のことであり、逆行列の計算に使う「余因子行列の転置（古典的随伴行列・余因子行列）」とは別物なので注意してください。
このツールの使い方
行列は1行につき1行分を入力し、各成分はカンマまたはスペースで区切ります。実数成分は 3 や -2.5 のようにそのまま入力します。複素数成分は a+bi の形式で、2+3i、-1-2i、4i、あるいは -i のように入力できます。行数と列数をデータに合わせて設定し、表示桁数を選ぶと、行と列を入れ替えた A* が出力されます。
公式の解説
各成分を \(a_{kl} = x_{kl} + i\cdot y_{kl}\) と書きます。随伴行列 \(B = A^{*}\) の成分は $$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ となります。添字の i と j を入れ替えるのが転置、y の符号を反転させるのが複素共役にあたります。
計算例
2×3 行列 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\) を考えます。転置すると 3×2 の並びになり、各成分を複素共役にすると $$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$ が得られます。つまり \(2+3i\) は \(2-3i\) に、\(-i\) は \(+i\) に変わり、実数の \(5\) はそのままです。
随伴行列（共役転置）の性質
行列の随伴（エルミート共役）は、転置してから全ての成分の複素共役を取ることで得られます：\(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。記号 \(A^{*}\)、\(A^{H}\)、\(A^{\dagger}\) はすべて同じ操作を表します。以下の等式は、互換性のある大きさの任意の複素行列（および任意の複素スカラー \(c\)）に対して成立します。
| 性質 | 等式 | 注記 |
|---|---|---|
| 対合性 | \((A^{*})^{*} = A\) | 随伴を2回適用すると元の行列に戻ります。 |
| 加法性 | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | \(A\) と \(B\) は同じ大きさである必要があります。 |
| 共役斉次性 | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | スカラーが共役となって出てきます。例えば \((iA)^{*} = -iA^{*}\)。 |
| 逆順積 | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | 因子の順序が反転します（反準同型）。 |
| 逆行列 | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | \(A\) が可逆のときに成立します；随伴と逆行列は可換です。 |
| 行列式 | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | \(A\) が正方行列のみ；行列式は共役になります。 |
共役は実数を変わらないままにするため、全ての成分が実数の場合、上記の等式はすべて実行列に対応する形（\(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)）に帰着します。
主な用語
- 共役転置/随伴 \(A^{*}\)
- \(A\) を転置して全ての成分を共役にした行列：\((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。エルミート共役またはエルミート随伴とも呼ばれます。
- 複素共役
- \(z = a + bi\) に対して、共役は \(\overline{z} = a - bi\) です：虚部の符号が反転し、実部は変わりません。
- 転置 \(A^{\mathsf{T}}\)
- 主対角線を軸とした鏡映で、行と列を入れ替えます：\((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\)。共役は適用されません。
- エルミート行列
- 自身の随伴に等しい正方行列 \(A^{*} = A\)。その対角成分は実数で、固有値は実数です。
- 反エルミート行列
- \(A^{*} = -A\) を満たす正方行列。その対角成分は純虚数（またはゼロ）で、固有値は純虚数です。
- ユニタリ行列
- 随伴がその逆行列である正方行列 \(A^{*}A = AA^{*} = I\)。ユニタリ行列は複素内積を保存し、絶対値が1の固有値を持ちます。
- 余因子行列（古典的随伴）
- 同じような名前ですが異なる概念：余因子行列の転置で、\(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\) で使われます。共役転置 \(A^{*}\) とは無関係です。
- ダガー記号 \(A^{\dagger}\)
- 物理学（特に量子力学）で共役転置に一般的に使われる記号；\(A^{\dagger}\)、\(A^{H}\)、\(A^{*}\) はすべて同じ操作を意味します。
よくある質問
随伴行列は転置と同じですか？ 実数行列の場合のみ同じです。複素数成分があるときは複素共役も取る必要があるため、両者は異なります。
エルミート行列とは何ですか？ 自身の随伴行列と一致する正方行列、つまり \(A^{*} = A\) を満たす行列です。出力と入力を見比べることで確認できます。
これは逆行列で使う余因子行列のことですか？ いいえ。余因子行列（古典的随伴行列）は余因子行列の転置ですが、このツールが計算するのは共役転置です。
