¿Qué es la adjunta (conjugada hermítica) de una matriz?
La matriz adjunta, que se escribe A*, A† (daga) o AḤ, es la traspuesta conjugada de una matriz A. Se construye en dos pasos: primero se traspone A (intercambiando filas y columnas) y después se sustituye cada elemento por su conjugado complejo (conservando la parte real y cambiando el signo de la parte imaginaria). Si A es de m×n, entonces A* es de n×m. Ten presente que se trata de la conjugada hermítica empleada en álgebra lineal y mecánica cuántica, y no de la «adjunta clásica» (la traspuesta de la matriz de cofactores, en español también llamada matriz adjunta o adyunta), que se usa para invertir matrices.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tu matriz escribiendo una fila por línea y separando las celdas con comas o espacios. Las celdas reales son números corrientes como 3 o -2.5. Las celdas complejas usan la forma a+bi: 2+3i, -1-2i, 4i o simplemente -i. Ajusta el número de filas y columnas para que coincida con tus datos, elige la precisión de visualización y la herramienta te devolverá A* con las dimensiones intercambiadas.
La fórmula explicada
Escribe cada elemento como \(a_{kl} = x_{kl} + i\cdot y_{kl}\). La adjunta \(B = A^{*}\) tiene elementos $$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ El intercambio del par de índices es la trasposición; el cambio de signo en \(y\) es la conjugación.
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz de 2×3 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\). Al trasponerla obtenemos una disposición de 3×2 y, al conjugar cada elemento, resulta $$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$ Así, \(2+3i\) se convierte en \(2-3i\), \(-i\) pasa a ser \(+i\) y el número real \(5\) no cambia.
Propiedades del Adjunto (Transpuesta Conjugada)
El adjunto (conjugado hermitiano) de una matriz se obtiene transponiendo y luego tomando el conjugado complejo de cada entrada: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Las notaciones \(A^{*}\), \(A^{H}\) y \(A^{\dagger}\) denotan todas la misma operación. Las identidades a continuación se cumplen para cualquier matriz compleja de tamaño compatible (y cualquier escalar complejo \(c\)).
| Propiedad | Identidad | Notas |
|---|---|---|
| Involución | \((A^{*})^{*} = A\) | Aplicar el adjunto dos veces devuelve la matriz original. |
| Aditividad | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | Requiere que \(A\) y \(B\) tengan el mismo tamaño. |
| Homogeneidad conjugada | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | El escalar sale conjugado, p.ej. \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| Producto en orden inverso | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | El orden de los factores se invierte (anti-homomorfismo). |
| Inverso | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | Se cumple cuando \(A\) es invertible; el adjunto e inverso conmutan. |
| Determinante | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | Solo para \(A\) cuadrada; el determinante se conjuga. |
Dado que la conjugación deja invariables los números reales, cada identidad anterior se reduce a su contrapartida de matriz real (con \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)) cuando todas las entradas son reales.
Términos Clave
- Transpuesta conjugada / adjunto \(A^{*}\)
- La matriz obtenida transponiendo \(A\) y conjugando cada entrada: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). También llamada conjugado hermitiano o adjunto hermitiano.
- Conjugado complejo
- Para \(z = a + bi\), el conjugado es \(\overline{z} = a - bi\): el signo de la parte imaginaria se invierte mientras la parte real permanece igual.
- Transpuesta \(A^{\mathsf{T}}\)
- Reflexión a través de la diagonal principal, intercambiando filas y columnas: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). No se aplica conjugación.
- Matriz hermitiana
- Una matriz cuadrada igual a su propio adjunto, \(A^{*} = A\). Sus entradas diagonales son reales y sus valores propios son reales.
- Matriz sesgohermitiana
- Una matriz cuadrada que satisface \(A^{*} = -A\). Sus entradas diagonales son puramente imaginarias (o cero) y sus valores propios son puramente imaginarios.
- Matriz unitaria
- Una matriz cuadrada cuyo adjunto es su inverso, \(A^{*}A = AA^{*} = I\). Las matrices unitarias preservan el producto interno complejo y tienen valores propios de módulo 1.
- Adjunta (adjunta clásica)
- Un concepto diferente a pesar del nombre similar: la transpuesta de la matriz de cofactores, utilizada en \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\). No está relacionada con la transpuesta conjugada \(A^{*}\).
- Notación daga \(A^{\dagger}\)
- El símbolo comúnmente usado en física (especialmente mecánica cuántica) para la transpuesta conjugada; \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\) y \(A^{*}\) significan todos la misma operación.
Preguntas frecuentes
¿Es la adjunta lo mismo que la traspuesta? Solo en el caso de matrices reales. Cuando hay elementos complejos también hay que conjugar, por lo que ambas difieren. En el caso real se cumple \(A^{*} = A^{\mathsf{T}}\) (si todos los \(y_{ij}=0\)).
¿Qué es una matriz hermítica? Una matriz cuadrada que coincide con su propia adjunta, es decir, \(A^{*} = A\). Puedes comprobarlo comparando el resultado con la matriz de entrada.
¿Es esta la adjunta clásica que se usa para invertir matrices? No. La adjunta clásica (adjugada) es la traspuesta de la matriz de cofactores; esta herramienta calcula la traspuesta conjugada.
