Ma trận liên hợp (liên hợp Hermit) là gì?
Ma trận liên hợp, ký hiệu A*, A† (dagger) hay AḤ, chính là chuyển vị liên hợp của ma trận A. Bạn tạo ra nó qua hai bước: chuyển vị A (đổi chỗ hàng và cột), rồi thay mỗi phần tử bằng số phức liên hợp của nó (giữ nguyên phần thực, đổi dấu phần ảo). Nếu A có cỡ m×n thì A* sẽ có cỡ n×m. Lưu ý đây là liên hợp Hermit dùng trong đại số tuyến tính và cơ học lượng tử — không phải "ma trận phụ hợp" (adjugate, tức chuyển vị của ma trận các phần phụ đại số) dùng để nghịch đảo ma trận.
Cách dùng máy tính này
Nhập ma trận của bạn với mỗi hàng trên một dòng, các phần tử cách nhau bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. Phần tử thực là số thường như 3 hoặc -2.5. Phần tử phức dùng dạng a+bi: 2+3i, -1-2i, 4i hoặc đơn giản là -i. Đặt số hàng và số cột khớp với dữ liệu của bạn, chọn độ chính xác hiển thị, và công cụ sẽ trả về A* với kích thước đã được hoán đổi.
Giải thích công thức
Viết mỗi phần tử dưới dạng \(a_{kl} = x_{kl} + i\cdot y_{kl}\). Ma trận liên hợp \(B = A^{*}\) có các phần tử
$$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$Việc hoán đổi cặp chỉ số chính là phép chuyển vị, còn việc đổi dấu của y chính là phép lấy liên hợp. Tổng quát:
$$A^{*} = \overline{A^{\mathsf{T}}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathsf{T}}$$Nếu mọi phần ảo đều bằng không thì
$$A^{*} = A^{\mathsf{T}} \quad (\text{if all } y_{ij}=0)$$
Ví dụ minh họa
Xét ma trận 2×3 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\). Chuyển vị sẽ cho bố cục 3×2, và lấy liên hợp từng phần tử ta được
$$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$Vậy \(2+3i\) trở thành \(2-3i\), \(-i\) trở thành \(+i\), còn số thực \(5\) thì giữ nguyên.
Tính chất của Phép Liên Hợp Chuyển Vị (Conjugate Transpose)
Phép liên hợp chuyển vị (Hermitian conjugate) của một ma trận được tính bằng cách chuyển vị rồi lấy liên hợp phức của mỗi phần tử: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Các ký hiệu \(A^{*}\), \(A^{H}\) và \(A^{\dagger}\) đều biểu thị cùng một phép toán. Các đồng nhất thức dưới đây đúng cho bất kỳ ma trận phức có kích thước tương thích nào (và bất kỳ vô hướng phức \(c\) nào).
| Tính chất | Đồng nhất thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Phép toán đối hợp | \((A^{*})^{*} = A\) | Áp dụng phép liên hợp chuyển vị hai lần trả về ma trận ban đầu. |
| Tính cộng tính | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | Yêu cầu \(A\) và \(B\) có cùng kích thước. |
| Tính thuần nhất liên hợp | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | Vô hướng ra ngoài được liên hợp, ví dụ: \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| Tích theo thứ tự đảo ngược | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | Thứ tự các thừa số bị đảo ngược (anti-homomorphism). |
| Phép toán nghịch đảo | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | Đúng khi \(A\) khả nghịch; phép liên hợp chuyển vị và phép toán nghịch đảo giao hoán. |
| Định thức | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | Chỉ áp dụng cho \(A\) vuông; định thức bị liên hợp. |
Vì liên hợp để nguyên các số thực, mỗi đồng nhất thức ở trên đều rút gọn thành dạng tương ứng của ma trận thực (với \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)) khi tất cả các phần tử đều là số thực.
Các Thuật ngữ Chính
- Liên hợp chuyển vị / phép liên hợp chuyển vị \(A^{*}\)
- Ma trận thu được bằng cách chuyển vị \(A\) và liên hợp mỗi phần tử: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Còn được gọi là liên hợp Hermitian hoặc phép liên hợp Hermitian.
- Liên hợp phức
- Với \(z = a + bi\), liên hợp là \(\overline{z} = a - bi\): dấu của phần ảo bị đảo ngược trong khi phần thực giữ nguyên.
- Chuyển vị \(A^{\mathsf{T}}\)
- Phản xạ qua đường chéo chính, hoán đổi hàng và cột: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). Không áp dụng liên hợp.
- Ma trận Hermitian
- Ma trận vuông bằng với phép liên hợp chuyển vị của chính nó, \(A^{*} = A\). Các phần tử trên đường chéo của nó là số thực và các giá trị riêng của nó là số thực.
- Ma trận phản Hermitian
- Ma trận vuông thỏa mãn \(A^{*} = -A\). Các phần tử trên đường chéo của nó là số thuần ảo (hoặc không) và các giá trị riêng của nó là số thuần ảo.
- Ma trận unitary
- Ma trận vuông mà phép liên hợp chuyển vị của nó là nghịch đảo của nó, \(A^{*}A = AA^{*} = I\). Các ma trận unitary bảo toàn tích trong phức và có các giá trị riêng với modulus bằng 1.
- Adjugate (adjoint cổ điển)
- Một khái niệm khác dù có tên tương tự: chuyển vị của ma trận phần bù đại số, được sử dụng trong \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\). Nó không liên quan đến liên hợp chuyển vị \(A^{*}\).
- Ký hiệu dagger \(A^{\dagger}\)
- Ký hiệu thường được sử dụng trong vật lý (đặc biệt là cơ học lượng tử) cho liên hợp chuyển vị; \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\) và \(A^{*}\) đều có cùng một nghĩa.
Câu hỏi thường gặp
Ma trận liên hợp có giống chuyển vị không? Chỉ giống với ma trận thực. Với phần tử phức, bạn còn phải lấy liên hợp nên hai kết quả sẽ khác nhau.
Ma trận Hermit là gì? Là ma trận vuông bằng chính ma trận liên hợp của nó, tức \(A^{*} = A\). Bạn có thể kiểm tra bằng cách so sánh kết quả với dữ liệu đầu vào.
Đây có phải ma trận phụ hợp dùng trong nghịch đảo không? Không. Ma trận phụ hợp (adjugate) là chuyển vị của ma trận các phần phụ đại số; còn công cụ này tính chuyển vị liên hợp.
