Qu'est-ce que l'adjointe (conjuguée hermitienne) d'une matrice ?
La matrice adjointe, notée \(A^{*}\), \(A^{\dagger}\) (dague) ou \(A^{\mathsf{H}}\), est la transposée conjuguée d'une matrice \(A\). On la construit en deux étapes : on transpose \(A\) (on échange les lignes et les colonnes), puis on remplace chaque coefficient par son conjugué complexe (on garde la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire). Si \(A\) est de taille \(m \times n\), alors \(A^{*}\) est de taille \(n \times m\). Attention : il s'agit ici de la conjuguée hermitienne utilisée en algèbre linéaire et en mécanique quantique — à ne pas confondre avec la « comatrice transposée » (adjointe classique, c'est-à-dire la transposée de la matrice des cofacteurs), qui sert au calcul de l'inverse.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre matrice à raison d'une ligne par rangée, en séparant les coefficients par des virgules ou des espaces. Les coefficients réels s'écrivent simplement, comme 3 ou -2.5. Les coefficients complexes s'écrivent sous la forme a+bi : 2+3i, -1-2i, 4i ou tout simplement -i. Réglez le nombre de lignes et de colonnes pour correspondre à vos données, choisissez la précision d'affichage, et l'outil renvoie \(A^{*}\) avec ses dimensions inversées.
La formule expliquée
Écrivons chaque coefficient sous la forme \(a_{kl} = x_{kl} + i\,y_{kl}\). L'adjointe \(B = A^{*}\) a pour coefficients
$$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$L'inversion de l'ordre des indices correspond à la transposition ; le changement de signe sur \(y\) correspond à la conjugaison.
Exemple détaillé
Prenons la matrice \(2 \times 3\) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\). La transposition donne une disposition \(3 \times 2\), et la conjugaison de chaque coefficient aboutit à
$$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$Ainsi \(2+3i\) devient \(2-3i\), \(-i\) devient \(+i\), et le réel \(5\) reste inchangé.
Propriétés de l'Adjoint (Transposée Conjuguée)
L'adjoint (conjugué hermitien) d'une matrice s'obtient en transposant, puis en prenant le conjugué complexe de chaque élément : \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Les notations \(A^{*}\), \(A^{H}\) et \(A^{\dagger}\) désignent toutes la même opération. Les identités ci-dessous sont valides pour toutes matrices complexes de taille compatible (et tout scalaire complexe \(c\)).
| Propriété | Identité | Remarques |
|---|---|---|
| Involution | \((A^{*})^{*} = A\) | Appliquer l'adjoint deux fois retourne la matrice originale. |
| Additivité | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | Requiert que \(A\) et \(B\) soient de la même taille. |
| Homogénéité conjuguée | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | Le scalaire ressort conjugué, par exemple \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| Produit en ordre inverse | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | L'ordre des facteurs est inversé (anti-homomorphisme). |
| Inverse | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | S'applique quand \(A\) est inversible ; l'adjoint et l'inverse commutent. |
| Déterminant | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | \(A\) carré uniquement ; le déterminant est conjugué. |
Comme la conjugaison laisse les nombres réels inchangés, chaque identité ci-dessus se réduit à son équivalent pour matrices réelles (avec \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)) quand toutes les entrées sont réelles.
Termes Clés
- Transposée conjuguée / adjoint \(A^{*}\)
- La matrice obtenue en transposant \(A\) et en conjuguant chaque élément : \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). Aussi appelée conjugué hermitien ou adjoint hermitien.
- Conjugué complexe
- Pour \(z = a + bi\), le conjugué est \(\overline{z} = a - bi\) : le signe de la partie imaginaire est inversé tandis que la partie réelle reste la même.
- Transposée \(A^{\mathsf{T}}\)
- Réflexion à travers la diagonale principale, échangeant les lignes et les colonnes : \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). Aucune conjugaison n'est appliquée.
- Matrice hermitienne
- Une matrice carrée égale à son propre adjoint, \(A^{*} = A\). Ses éléments diagonaux sont réels et ses valeurs propres sont réelles.
- Matrice anti-hermitienne
- Une matrice carrée satisfaisant \(A^{*} = -A\). Ses éléments diagonaux sont purement imaginaires (ou nuls) et ses valeurs propres sont purement imaginaires.
- Matrice unitaire
- Une matrice carrée dont l'adjoint est son inverse, \(A^{*}A = AA^{*} = I\). Les matrices unitaires préservent le produit scalaire complexe et ont des valeurs propres de module 1.
- Adjointe (adjointe classique)
- Un concept différent malgré le nom similaire : la transposée de la matrice des cofacteurs, utilisée dans \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\). Elle est sans lien avec la transposée conjuguée \(A^{*}\).
- Notation dague \(A^{\dagger}\)
- Le symbole couramment utilisé en physique (en particulier en mécanique quantique) pour la transposée conjuguée ; \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\) et \(A^{*}\) désignent tous la même opération.
FAQ
L'adjointe est-elle identique à la transposée ? Uniquement pour les matrices réelles. Avec des coefficients complexes, il faut aussi conjuguer : les deux diffèrent donc. Dans ce cas, $$A^{*} = A^{\mathsf{T}} \quad (\text{si tous les } y_{ij}=0)$$
Qu'est-ce qu'une matrice hermitienne ? C'est une matrice carrée égale à sa propre adjointe, \(A^{*} = A\). Vous pouvez le vérifier en comparant le résultat à la matrice de départ.
S'agit-il de l'adjointe utilisée pour l'inversion ? Non. La comatrice transposée (adjointe classique) est la transposée de la matrice des cofacteurs ; cet outil calcule plutôt la transposée conjuguée.
