Qu'est-ce que le calculateur de déterminant de matrice n×n ?
Cet outil calcule le déterminant \(\det(A)\) de n'importe quelle matrice carrée n×n composée de nombres réels, ainsi que son inverse \(\frac{1}{\det(A)}\). Le déterminant est un nombre unique qui indique si une matrice est inversible (\(\det \ne 0\)) ou singulière (\(\det = 0\)). On le retrouve partout en algèbre linéaire, en géométrie (facteur d'échelle des volumes orientés) et dans la résolution des systèmes d'équations. Les mathématiques sont universelles — le résultat est identique quel que soit le pays.
Mode d'emploi
Définissez la taille \(n\) de la matrice (de 1 à 10), puis renseignez chaque coefficient \(a_{ij}\) dans la grille. Les valeurs peuvent être négatives, décimales ou nulles. Choisissez le nombre de chiffres à afficher si vous souhaitez plus de précision. Le calculateur renvoie le déterminant et, lorsque la matrice est inversible, son inverse \(\frac{1}{\det(A)}\). Si le déterminant vaut zéro, l'outil signale que la matrice est singulière et indique que l'inverse n'est pas défini.
La formule
Le déterminant peut se définir par le développement de Laplace (selon les cofacteurs) le long d'une ligne :
$$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$où \(M_{ij}\) est le mineur obtenu en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\). Pour \(n = 2\), \(\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\). Pour des raisons de stabilité numérique et de rapidité, ce calculateur utilise plutôt l'élimination de Gauss avec pivot partiel : il réduit \(A\) à une forme triangulaire supérieure, suit les changements de signe dus aux permutations de lignes, puis multiplie les pivots diagonaux —
$$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
Exemple détaillé
Pour \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\) :
$$\det = 1(5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$On a donc \(\det(A) = -3\) et \(\frac{1}{\det(A)} \approx -0{,}3333\).
FAQ
Que signifie un déterminant égal à 0 ? La matrice est singulière : ses lignes ou ses colonnes sont linéairement dépendantes, elle n'a pas d'inverse et \(\frac{1}{\det(A)}\) n'est pas défini.
Les coefficients peuvent-ils être décimaux ou négatifs ? Oui — tous les nombres réels sont acceptés.
Pourquoi utiliser l'élimination plutôt que le développement par cofacteurs ? Le développement par cofacteurs nécessite \(O(n!)\) opérations ; l'élimination de Gauss n'en demande que \(O(n^3)\) et reste numériquement stable pour les grandes matrices.
