Qu'est-ce que le calculateur de déterminant d'une matrice 3×3 ?
Cet outil calcule le déterminant d'une matrice A de dimension 3×3 à partir de ses neuf coefficients réels, et affiche également l'inverse du déterminant (\(1/\det A\)). Le déterminant est un nombre unique qui indique si une matrice est inversible : un déterminant non nul signifie que la matrice possède une matrice inverse, tandis qu'un déterminant nul caractérise une matrice singulière (non inversible).
Comment l'utiliser
Saisissez chacun des neuf coefficients dans la grille étiquetée, où a-ligne-colonne désigne l'élément situé à cette ligne et cette colonne. Chaque case accepte n'importe quel nombre réel (positif, négatif ou décimal). Cliquez sur Calculer pour obtenir \(\det A\) comme résultat principal, et \(1/\det A\) juste en dessous. Si le déterminant est nul, l'inverse est indiqué comme non défini.
La formule expliquée
En utilisant le développement par les cofacteurs (développement de Laplace) selon la première ligne :
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}).$$
Cette méthode équivaut à la règle de Sarrus, qui additionne les trois produits des diagonales descendantes (de gauche à droite) et soustrait les trois produits des diagonales montantes (de droite à gauche). Le résultat correspond au facteur signé de mise à l'échelle des volumes de la transformation linéaire représentée par A ; une valeur négative indique que la transformation inverse l'orientation.
Exemple résolu
Pour \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\) :
$$\det A = 1(5\times10 - 6\times8) - 2(4\times10 - 6\times7) + 3(4\times8 - 5\times7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3.$$
L'inverse vaut \(1/(-3) = -0{,}3333\ldots\) Comme \(\det A\) est non nul, la matrice est inversible.
Plus d'exemples résolus
Chaque exemple utilise l'expansion par cofacteurs selon la première ligne :
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$Exemple 1 — Une matrice singulière (det = 0)
Ici, la troisième ligne est exactement la somme des deux premières lignes, donc la matrice est singulière.
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$En développant selon la première ligne :
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
En sommant : \(3 - 12 + 9 = \) 0. Puisque \(\det A = 0\), la matrice est singulière et l'inverse \(1/\det A\) est indéfini (aucun inverse n'existe).
Exemple 2 — Entrées négatives et décimales
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$En développant selon la première ligne :
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
En sommant : \(-20 + 6 - 3 = \) -17. L'inverse est \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\).
Exemple 3 — Matrice triangulaire supérieure (det = produit de la diagonale)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$En développant selon la première ligne (notez que les zéros dans le coin inférieur gauche annulent les cofacteurs hors diagonale) :
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
En sommant : \(24 + 0 + 0 = \) 24, ce qui égale le produit des entrées diagonales \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\). Pour toute matrice triangulaire, le déterminant est simplement le produit de la diagonale.
Termes clés expliqués
- Déterminant (\(\det A\) ou \(|A|\))
- Un scalaire unique calculé à partir d'une matrice carrée qui indique si la matrice est inversible et comment elle met à l'échelle le volume. Pour une matrice 3×3, il se trouve par expansion par cofacteurs.
- Mineur (\(M_{ij}\))
- Le déterminant de la plus petite matrice restante après suppression de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\). Pour une matrice 3×3, chaque mineur est un déterminant 2×2.
- Cofacteur (\(C_{ij}\))
- Un mineur signé : \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). Le motif de signe en damier est \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\).
- Expansion de Laplace / expansion par cofacteurs
- Une méthode qui calcule le déterminant comme la somme de chaque entrée d'une ligne ou colonne choisie multipliée par son cofacteur : \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\). Choisir une ligne ou colonne contenant des zéros réduit le travail.
- Règle de Sarrus
- Un raccourci pour les matrices 3×3 uniquement : ajoutez les trois produits diagonaux de gauche à droite et soustrayez les trois produits diagonaux de droite à gauche. Elle donne le même résultat que l'expansion par cofacteurs.
- Matrice singulière
- Une matrice avec \(\det A = 0\) ; elle n'a pas d'inverse car les lignes (et colonnes) sont linéairement dépendantes.
- Matrice inversible (non singulière)
- Une matrice avec \(\det A \neq 0\) ; elle a un inverse unique \(A^{-1}\).
- Matrice adjointe (adjointe)
- La transposée de la matrice des cofacteurs. Elle apparaît dans la formule inverse \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\).
- Dépendance linéaire
- Quand une ligne (ou colonne) peut être écrite comme une combinaison des autres. La dépendance linéaire force \(\det A = 0\) et signifie que la matrice envoie l'espace 3D vers un ensemble de dimension inférieure.
FAQ
Que signifie un déterminant égal à zéro ? La matrice est singulière et n'admet pas d'inverse ; ses lignes ou ses colonnes sont linéairement dépendantes.
Le déterminant peut-il être négatif ? Oui. Un déterminant négatif signifie simplement que la transformation associée inverse l'orientation ; sa valeur absolue donne toujours le facteur de mise à l'échelle des volumes.
Pourquoi afficher \(1/\det A\) ? L'inverse du déterminant intervient comme facteur scalaire dans la formule explicite de la matrice inverse (la comatrice transposée divisée par \(\det A\)) ; c'est donc une valeur informative pratique.
