什麼是 3×3 矩陣行列式計算機？
這個工具會根據你輸入的九個實數，計算 3×3 矩陣 A 的行列式，同時回報行列式的倒數（1/det A）。行列式是一個單一數值，可以告訴你矩陣是否可逆：行列式不為零代表矩陣存在反矩陣；行列式為零則表示這是一個奇異矩陣（不可逆）。
使用方式
請在標示好的格子中填入九個元素，其中 a-列-行 代表該列與該行交會位置的元素。每一格都可以輸入任意實數（正數、負數或小數皆可）。按下計算後，主要結果會顯示 det A，下方則顯示 1/det A。若行列式為零，倒數會標記為「未定義」。
公式解析
沿著第一列進行餘因子（拉普拉斯）展開：
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
這與薩魯斯法則（rule of Sarrus）等價：把三條由左上往右下的對角線乘積相加，再減去三條由右上往左下的對角線乘積。最終結果代表由 A 所表示的線性變換對體積的「帶正負號的縮放倍率」；若數值為負，表示該變換會翻轉空間的方向（定向）。
實例演算
以 A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] 為例：$$\det A = 1(5\times 10 - 6\times 8) - 2(4\times 10 - 6\times 7) + 3(4\times 8 - 5\times 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$倒數為 \(1/(-3) = -0.3333\ldots\)。由於 det A 不等於零，因此這個矩陣是可逆的。
更多工作範例
每個範例都沿著第一列使用餘因子展開：
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$範例 1 — 奇異矩陣 (det = 0)
這裡第三列正好是前兩列的和，所以矩陣是奇異的。
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$沿著第一列展開：
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
相加：\(3 - 12 + 9 = \) 0。因為 \(\det A = 0\)，矩陣是奇異的，而倒數 \(1/\det A\) 是無定義的（不存在反矩陣）。
範例 2 — 負數和小數項
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$沿著第一列展開：
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
相加：\(-20 + 6 - 3 = \) -17。倒數是 \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\)。
範例 3 — 上三角矩陣 (det = 對角線乘積)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$沿著第一列展開（注意左下方的零使非對角線餘因子消失）：
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
相加：\(24 + 0 + 0 = \) 24，這等於對角線項的乘積 \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\)。對於任何三角矩陣，行列式就是對角線項的乘積。
關鍵術語說明
- 行列式（\(\det A\) 或 \(|A|\)）
- 一個從方矩陣計算出的單一純量，編碼矩陣是否可逆以及它如何縮放體積。對於 3×3 矩陣，它通過餘因子展開來求得。
- 未成年子式（\(M_{ij}\)）
- 刪除第 \(i\) 列和第 \(j\) 列後留下的較小矩陣的行列式。對於 3×3 矩陣，每個未成年子式都是一個 2×2 行列式。
- 餘因子（\(C_{ij}\)）
- 一個帶符號的未成年子式：\(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)。棋盤符號模式是 \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\)。
- 拉普拉斯 / 餘因子展開
- 一種方法，通過選定的行或列中的每一項乘以其餘因子的和來計算行列式：\(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\)。選擇包含零的行或列可以減少工作量。
- 薩呂法則
- 僅適用於 3×3 矩陣的快速方法：加上三個從左到右的對角線乘積，減去三個從右到左的對角線乘積。它給出與餘因子展開相同的結果。
- 奇異矩陣
- 一個滿足 \(\det A = 0\) 的矩陣；它沒有反矩陣，因為行（和列）線性相關。
- 可逆（非奇異）矩陣
- 一個滿足 \(\det A \neq 0\) 的矩陣；它有唯一的反矩陣 \(A^{-1}\)。
- 伴隨矩陣（伴隨）
- 餘因子矩陣的轉置。它出現在反矩陣公式 \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\) 中。
- 線性相關
- 當一列（或一行）可以寫成其他列（或行）的組合時。線性相關強制 \(\det A = 0\)，這意味著矩陣將 3 維空間映射到一個較低維度的集合。
常見問題
行列式等於零代表什麼？表示這是一個奇異矩陣，沒有反矩陣；它的各列（或各行）之間呈線性相依。
行列式可以是負數嗎？可以。負的行列式只是代表對應的線性變換會翻轉方向（定向），其絕對值仍然代表體積的縮放倍率。
為什麼要顯示 1/det A？在反矩陣的封閉形式公式中（伴隨矩陣除以 det A），這個倒數 \(\frac{1}{\det A}\) 會作為一個純量係數出現，因此把它列出來是相當實用的參考資訊。
