什麼是 n×n 矩陣行列式計算器？
這個工具可以計算任意 n×n 實數方陣的行列式 \(\det(A)\)，並一併算出其倒數 \(\frac{1}{\det(A)}\)。行列式是一個單一數值，能告訴你矩陣是否可逆（\(\det \neq 0\)）或為奇異矩陣（\(\det = 0\)）。它在線性代數、幾何（有號體積的縮放比例）以及解聯立方程組中都扮演關鍵角色。行列式的數學定義放諸四海皆準，無論在哪裡計算結果都相同。
使用方法
先設定矩陣的階數 \(n\)（1 到 10），接著在表格中逐一填入每個元素 \(a_{ij}\)。元素可以是負數、小數或零。若需要更高的精度，可自行選擇要顯示的位數。計算器會回傳行列式；當矩陣可逆時，也會回傳倒數 \(\frac{1}{\det(A)}\)。若行列式為零，則會將該矩陣標示為奇異矩陣，並回報倒數為未定義。
計算公式
行列式可以透過沿某一列的拉普拉斯（餘因子）展開來定義： $$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$ 其中 \(M_{ij}\) 是刪除第 \(i\) 列與第 \(j\) 行後所得的子行列式。當 \(n = 2\) 時， $$\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$$ 為了兼顧數值穩定性與運算速度，本計算器改採部分主元選取的高斯消去法：將 \(A\) 化為上三角形式，記錄列交換所造成的正負號變化，再將對角線上的主元相乘 —— $$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
範例演算
以 \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\) 為例： $$\det = 1(5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ 因此 \(\det(A) = -3\)，而 \(\frac{1}{\det(A)} \approx -0.3333\)。
常見問題
行列式為 0 代表什麼？這表示矩陣是奇異矩陣：它的各列或各行彼此線性相依，沒有反矩陣，因此 \(\frac{1}{\det(A)}\) 為未定義。
元素可以是小數或負數嗎？可以 —— 任何實數都能輸入。
為什麼採用消去法而非餘因子展開？餘因子展開的運算量高達 \(O(n!)\)；高斯消去法只需 \(O(n^3)\)，對於較大的矩陣也能保持數值穩定。
