什麼是 4×4 矩陣的行列式？

行列式是一個能濃縮方陣重要性質的純量值。對於 4×4 矩陣 A 來說，行列式可以告訴你這個矩陣是否可逆（行列式不為零）或為奇異矩陣（行列式等於零），同時它也代表線性變換 A 對四維體積的「帶正負號的縮放倍率」。本計算機採用精確的餘因子展開法，為任意 4×4 矩陣計算出 $\det(A)$。

如何使用本計算機

請將矩陣的 16 個元素全部填入格子中，其中 $a_{ij}$ 位於第 i 列、第 j 行。可輸入小數與負數。按下計算後，工具會回傳行列式的值，並判斷該矩陣是否可逆。

我們沿第一列進行拉普拉斯（餘因子）展開：

$$\det(A) = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14}$$

其中每個 $M_{1j}$ 是刪除第 1 列與第 j 行後所形成之 3×3 子矩陣的行列式。各項符號依 $(-1)^{1+j}$ 交替變化（+、−、+、−）。每個 3×3 子式又會進一步展開成 2×2 的行列式，最終得出精確結果。

以單位矩陣為例（對角線為 1，其餘為 0），所有非對角線的乘積都會相互抵消，因此 $\det = 1\times1\times1\times1 = 1$。再以對角線元素為 2、3、4、5 的對角矩陣為例，其行列式就是對角線元素的乘積：

$$2\times3\times4\times5 = 120$$

4×4 矩陣 $A$ 的行列式是一個單一標量，它編碼線性變換 $x\mapsto Ax$ 如何改變四維空間的形狀。請按以下方式讀取您的結果。

正行列式表示變換保持坐標系的方向（手性），負行列式表示方向被反轉（涉及反射）。符號本身不會告訴您空間被拉伸了多少 — 只會告訴您基是否被翻轉。

當 $\det(A)=0$ 時，矩陣將 4D 空間塌縮到低維子空間（3D 或更薄的「平面」），破壞體積。這樣的矩陣是奇異的：它沒有逆矩陣，線性方程組 $Ax=b$ 沒有唯一解，至少一行（和一列）是其他行（列）的線性組合。

矩陣可逆當且僅當 $\det(A)\neq 0$。當行列式非零時，逆矩陣的行列式滿足 $\det(A^{-1})=1/\det(A)$，因此小的 $|\det|$ 表示逆矩陣幾乎是奇異的，數值上不穩定。非零行列式也恰好是四行（等價地，四列）線性獨立且跨越完整四維空間的條件。

行列式: 與方陣相關聯的標量值 $\det(A)$，測量對應線性映射的有符號體積縮放因子，並指示矩陣是否可逆。
子式: 通過從原始矩陣中刪除第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的較小（此處為 3×3）矩陣的行列式 $M_{ij}$。
餘子式: 有符號的子式，$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。交替的 $(-1)^{i+j}$ 符號產生在展開式中使用的棋盤圖案 $+\,-\,+\,-$。
拉普拉斯（餘子式）展開: 通過沿選定行或列展開來計算行列式的方法：$\det(A)=\sum_{j} a_{ij}C_{ij}$。對於 4×4 矩陣，這將問題簡化為四個 3×3 行列式。
奇異矩陣: 行列式為零的方陣；它沒有逆矩陣，且其行（和列）是線性相關的。
可逆（非奇異）矩陣: 行列式 $\det(A)\neq 0$ 的方陣，對其存在唯一逆矩陣 $A^{-1}$ 滿足 $AA^{-1}=I$。
子矩陣: 通過選擇較大矩陣的行和列的子集形成的任何矩陣；刪除一行一列產生的子矩陣的行列式是子式。
標量: 單一數字（相對於向量或矩陣）；矩陣的行列式始終是標量。

行列式等於 0 代表什麼？表示該矩陣為奇異矩陣——它沒有反矩陣，列（或行）之間彼此線性相依，且其線性變換會把體積壓縮為零。

沿哪一列展開會影響結果嗎？不會。無論沿任一列或任一行展開，都會得到完全相同的行列式；選擇第一列只是因為計算上比較方便。

可以輸入小數或負數嗎？可以。本工具接受任何實數，並以完整的浮點精度計算行列式。

計算方法	沿第一列的餘因子（拉普拉斯）展開法
是否可逆？	Yes (det ≠ 0)