什麼是正多邊形面積計算器？
正多邊形是一種所有邊長都相等、所有內角也都相等的封閉圖形，例如正三角形、正方形、正五邊形或正六邊形都屬於此類。這個計算器只需要兩個數值——邊數與每一邊的長度——就能直接算出多邊形所圍住的面積。除此之外，它還會一併提供邊心距、周長與內角，讓你一次掌握所有關鍵數據。
使用方法
請先輸入邊數（n），數值必須是 3 或以上；接著輸入單一邊的長度（s），單位可以自行選用。計算結果會以同樣單位的平方呈現。舉例來說，如果邊長以公分為單位，算出的面積就是平方公分。
公式說明
邊長為 \(s\) 的正 \(n\) 邊形，其面積公式為：
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
正多邊形可以從中心切分成 \(n\) 個全等的等腰三角形，每個三角形的底為 \(s\)，高則等於邊心距 \(a = \frac{s}{2 \cdot \tan(\pi/n)}\)。把這些三角形的面積加總起來，就得到上面的公式。隨著邊數增加，餘切（cotangent）項也會跟著變大，因此在邊長固定的情況下，邊數越多，面積就越大。
實際範例
以正六邊形（\(n = 6\)）、邊長為 10 為例。此時 \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1.7320508\)。面積為 $$A = 0.25 \times 6 \times 100 \times 1.7320508 \approx 259.81 \text{ 平方單位}$$ 邊心距為 \(\frac{10}{2 \cdot \tan 30°} \approx 8.66\)，周長為 60，而每個內角皆為 120°。
定義與詞彙表
- 正多邊形
- 一個封閉平面圖形，所有邊的長度相等，所有內角相等。例如包括等邊三角形、正方形和正六邊形。
- 邊長 (\(s\))
- 多邊形每條邊的公共長度。在面積公式中它是平方的，因此將邊長加倍會使面積增加四倍。
- 邊數 (\(n\))
- 多邊形的邊數（等同於頂點數）。它必須是至少為 3 的整數。
- 邊心距 (\(a\))
- 從多邊形中心到任一邊中點的垂直距離。它等於內切圓的半徑，由 \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\) 給出。面積也可以寫成 \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\)。
- 周長 (\(P\))
- 多邊形周圍的總距離，對於正多邊形為 \(P = n\,s\)。
- 內角
- 在多邊形的每個頂點處，兩條相鄰邊之間在多邊形內部形成的角，等於 \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\)。在正多邊形中，所有內角都相等。
- 中心角
- 在多邊形中心處由一條邊所對的角，等於 \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\)（或 \(2\pi/n\) 弧度）。每條邊對應一個中心角，\(n\) 個中心角合起來構成一個完整的圓周。
- 餘切函數 (\(\cot\))
- 一個三角函數，\(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\)。在公式 \(\cot(\pi/n)\) 中，它將一個三角形切片的半中心角轉換為決定多邊形高度與其邊長比例的比值，從而得出邊心距和面積。
常見問題
三角形和正方形也適用嗎？適用。3 邊形就是正三角形，4 邊形就是正方形，這個公式兩者都能處理。
面積會以什麼單位呈現？就是你輸入邊長時所用的單位的平方。本計算器不限定單位，任何單位都可以套用。
可以用來計算不規則圖形嗎？不行。這個公式只適用於每一邊與每個角都相等的圖形。不規則多邊形必須使用其他方法，例如鞋帶公式（shoelace formula）。
