什么是正多边形面积计算器？
正多边形是指所有边长相等、所有内角也相等的封闭图形——比如等边三角形、正方形、正五边形、正六边形等等。这款计算器只需要两个数据，就能直接算出这类图形所围成的面积：一是它有几条边，二是每条边有多长。除此之外，它还会顺便给出边心距、周长和内角度数。
使用方法
先填入边数（\(n\)），数值必须为 3 或以上；再填入一条边的长度（\(s\)），单位可以任选。计算结果会以相同单位的平方形式返回。举个例子：如果边长以厘米为单位，那么面积就是平方厘米。
公式详解
边长为 \(s\) 的正 \(n\) 边形，其面积公式为：
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
正多边形可以从中心切分成 \(n\) 个完全相同的等腰三角形。每个三角形的底边为 \(s\)，高则等于边心距 \(a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))\)。把这些三角形的面积加起来，就得到了上面的公式。随着边数增多，余切项也会变大，所以在边长固定的情况下，边数越多，面积就越大。
实例演算
以边长为 10 的正六边形（\(n = 6\)）为例。此时 \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1.7320508\)。代入公式得 $$A = 0.25 \times 6 \times 100 \times 1.7320508 \approx 259.81 \text{ 平方单位}$$边心距为 \(10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8.66\)，周长为 60，每个内角则是 120°。
定义和术语表
- 正多边形
- 一个闭合平面图形，所有边的长度相等，所有内角相等。例子包括等边三角形、正方形和正六边形。
- 边长 (\(s\))
- 多边形每条边的公共长度。在面积公式中它是平方形式，因此将边长加倍会使面积增加四倍。
- 边数 (\(n\))
- 多边形的边数（或等价地，顶点数）的计数。它必须是至少3的整数。
- 边心距 (\(a\))
- 从多边形中心到任意一条边中点的垂直距离。它等于内切圆的半径，由 \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\) 给出。面积也可以写成 \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\)。
- 周长 (\(P\))
- 多边形周围的总距离，对于正多边形，\(P = n\,s\)。
- 内角
- 在多边形每个顶点处由两条相邻边形成的角，等于 \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\)。在正多边形中，所有内角相等。
- 中心角
- 由多边形的一条边在中心处所张的角，等于 \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\)（或 \(2\pi/n\) 弧度）。每条边对应一个中心角，\(n\) 个中心角合起来构成一个完整的圆周。
- 余切函数 (\(\cot\))
- 一个三角函数，\(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\)。在公式 \(\cot(\pi/n)\) 中，它将一个三角形切片的半中心角转换为决定多边形高度与其边长比例的比值，从而得出边心距和面积。
常见问题
三角形和正方形也能用吗？ 当然可以。3 条边的正多边形就是等边三角形，4 条边的就是正方形——这个公式两者都适用。
计算出的面积用什么单位？ 取决于你输入边长时使用的单位，结果就是该单位的平方。本计算器不限定具体单位。
能用来算不规则图形吗？ 不能。这个公式只适用于每条边、每个角都相等的图形。不规则多边形需要采用其他方法，比如鞋带公式（Shoelace formula）。
