Máy tính diện tích đa giác đều là gì?
Đa giác đều là hình khép kín có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc trong bằng nhau — chẳng hạn tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều hay lục giác đều. Công cụ này tính trực tiếp diện tích phần bên trong của bất kỳ đa giác đều nào chỉ từ hai con số: số cạnh và độ dài mỗi cạnh. Ngoài ra, máy còn cho thêm trung đoạn (apothem), chu vi và góc trong như những kết quả kèm theo.
Cách sử dụng
Nhập số cạnh (n) — phải từ 3 trở lên — và độ dài một cạnh (s) theo bất kỳ đơn vị nào bạn muốn. Kết quả sẽ trả về theo đúng đơn vị đó nhưng ở dạng bình phương. Ví dụ, nếu độ dài cạnh tính bằng xăng-ti-mét thì diện tích sẽ tính bằng xăng-ti-mét vuông.
Giải thích công thức
Diện tích của một đa giác đều n cạnh với độ dài cạnh s được tính bằng:
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
Có thể chia đa giác thành n tam giác cân giống hệt nhau cùng gặp nhau tại tâm. Mỗi tam giác có đáy là s và chiều cao bằng trung đoạn \(a = s / (2\cdot\tan(\pi/n))\). Cộng diện tích các tam giác này lại ta được công thức trên. Giá trị cotang tăng dần khi đa giác có thêm cạnh, nên với cùng một độ dài cạnh, càng nhiều cạnh thì diện tích càng lớn.
Ví dụ minh họa
Xét một lục giác đều (n = 6) có độ dài cạnh là 10. Khi đó \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\). Diện tích là $$A = 0{,}25 \times 6 \times 100 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81 \text{ đơn vị vuông}.$$ Trung đoạn bằng \(10 / (2\cdot\tan 30°) \approx 8{,}66\), chu vi là 60, và mỗi góc trong là 120°.
Định nghĩa & Thuật ngữ
- Đa giác đều
- Một hình phẳng kín có tất cả các cạnh bằng nhau về độ dài và tất cả các góc trong bằng nhau. Các ví dụ bao gồm tam giác đều, hình vuông và lục giác đều.
- Độ dài cạnh (\(s\))
- Độ dài chung của mỗi cạnh của đa giác. Trong công thức diện tích, nó bình phương, vì vậy tăng gấp đôi cạnh sẽ làm tăng diện tích gấp bốn lần.
- Số lượng cạnh (\(n\))
- Số lượng cạnh (tương đương, các đỉnh) của đa giác. Nó phải là một số nguyên ít nhất là 3.
- Apothem (\(a\))
- Khoảng cách vuông góc từ tâm của đa giác đến trung điểm của bất kỳ cạnh nào. Nó bằng bán kính của đường tròn nội tiếp và được cho bởi \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\). Diện tích cũng có thể được viết là \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\).
- Chu vi (\(P\))
- Tổng khoảng cách xung quanh đa giác, \(P = n\,s\) đối với một đa giác đều.
- Góc trong
- Góc được tạo thành bên trong đa giác tại mỗi đỉnh giữa hai cạnh liền kề, bằng \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\). Tất cả các góc trong bằng nhau trong một đa giác đều.
- Góc ở tâm
- Góc tạo bởi tâm của đa giác và một cạnh, bằng \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (hoặc \(2\pi/n\) radian). Mỗi cạnh chiếm một góc ở tâm, và \(n\) góc ở tâm cùng nhau tạo thành một vòng quay đầy đủ.
- Cotangent (\(\cot\))
- Một hàm lượng giác, \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\). Trong công thức \(\cot(\pi/n)\) chuyển đổi nửa góc ở tâm của một lát hình tam giác thành tỷ số xác định chiều cao của đa giác so với cạnh của nó, tạo ra apothem và diện tích.
Câu hỏi thường gặp
Công cụ này có dùng được cho tam giác và hình vuông không? Có. Đa giác 3 cạnh chính là tam giác đều và đa giác 4 cạnh là hình vuông — công thức áp dụng được cho cả hai.
Diện tích được tính theo đơn vị nào? Theo đúng đơn vị bạn dùng cho độ dài cạnh, nhưng ở dạng bình phương. Máy tính không phụ thuộc vào đơn vị cụ thể.
Tôi có dùng được cho hình không đều không? Không. Công thức này chỉ áp dụng khi mọi cạnh và mọi góc đều bằng nhau. Với đa giác không đều, bạn cần phương pháp khác như công thức dây giày (shoelace).
