Что такое калькулятор площади правильного многоугольника?
Правильный многоугольник — это замкнутая фигура, у которой все стороны равны по длине, а все внутренние углы одинаковы. Это, например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник или шестиугольник. Калькулятор находит площадь такой фигуры всего по двум значениям: количеству сторон и длине каждой из них. В качестве бонуса он также выводит апофему, периметр и величину внутреннего угла.
Как пользоваться
Укажите число сторон (\(n\)) — оно должно быть не меньше 3 — и длину одной стороны (\(s\)) в любых удобных вам единицах. Результат вернётся в тех же единицах, возведённых в квадрат. Например, если длина стороны задана в сантиметрах, площадь будет в квадратных сантиметрах.
Разбираем формулу
Площадь правильного \(n\)-угольника со стороной \(s\) вычисляется так:
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
Многоугольник можно разбить на \(n\) одинаковых равнобедренных треугольников, сходящихся в центре. У каждого треугольника основание равно \(s\), а высота — апофеме \(a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))\). Сложив площади всех треугольников, мы и получаем приведённую формулу. Множитель с котангенсом растёт по мере увеличения числа сторон, поэтому при фиксированной длине стороны больше сторон — больше площадь.
Пример расчёта
Возьмём правильный шестиугольник (\(n = 6\)) со стороной 10. Тогда \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\). Площадь равна $$A = 0{,}25 \times 6 \times 100 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81 \text{ кв. единиц}$$ Апофема составляет \(10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8{,}66\), периметр равен 60, а каждый внутренний угол — 120°.
Частые вопросы
Подходит ли калькулятор для треугольников и квадратов? Да. Трёхсторонний многоугольник — это равносторонний треугольник, а четырёхсторонний — квадрат, и формула отлично справляется с обоими случаями.
В каких единицах получается площадь? В тех же, что вы использовали для длины стороны, только в квадрате. Калькулятор не привязан к конкретным единицам измерения.
Можно ли применять его к неправильным фигурам? Нет. Эта формула работает только тогда, когда все стороны и углы равны. Для неправильных многоугольников нужен другой подход — например, формула шнуровки (формула Гаусса).
Определения и глоссарий
- Правильный многоугольник
- Замкнутая плоская фигура, у которой все стороны равны по длине и все внутренние углы равны. Примеры включают равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.
- Длина стороны (\(s\))
- Общая длина каждого ребра многоугольника. В формуле площади она возводится в квадрат, поэтому при удвоении стороны площадь увеличивается в четыре раза.
- Количество сторон (\(n\))
- Количество рёбер (эквивалентно, вершин) многоугольника. Это должно быть целое число не менее 3.
- Апофема (\(a\))
- Перпендикулярное расстояние от центра многоугольника до середины любой стороны. Это равно радиусу вписанной окружности и определяется как \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\). Площадь также может быть записана как \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\).
- Периметр (\(P\))
- Общее расстояние вокруг многоугольника, \(P = n\,s\) для правильного многоугольника.
- Внутренний угол
- Угол, образованный внутри многоугольника у каждой вершины между двумя соседними сторонами, равный \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\). Все внутренние углы равны в правильном многоугольнике.
- Центральный угол
- Угол, образуемый в центре многоугольника одной стороной, равный \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (или \(2\pi/n\) радиан). Каждая сторона охватывает один центральный угол, и \(n\) центральных углов вместе составляют полный оборот.
- Котангенс (\(\cot\))
- Тригонометрическая функция, \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\). В формуле \(\cot(\pi/n)\) преобразует половину центрального угла одного треугольного сегмента в отношение, которое определяет высоту многоугольника относительно его стороны, получая апофему и площадь.
