Что такое правильный многоугольник?
Правильный многоугольник — это замкнутая фигура, у которой все стороны равны по длине, а все внутренние углы одинаковы. Привычные примеры — равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и восьмиугольник. Этот калькулятор подходит для любого правильного многоугольника с тремя и более сторонами и сразу выдаёт площадь, периметр, внутренние и внешние углы, апофему (радиус вписанной окружности) и радиус описанной окружности.
Как пользоваться
Укажите число сторон n (3 или больше) и длину одной стороны s в любых удобных единицах. Результаты используют те же единицы: длины — в тех же единицах, что и ввод, а площадь — в квадратных единицах. Углы всегда выводятся в градусах.
Разбор формул
Площадь вычисляется как \(A = \frac{1}{4}\,\text{n}\cdot \text{s}^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)\), где ctg — котангенс, а π/n — половина центрального угла одного из n одинаковых треугольников, на которые разбивается многоугольник. Периметр считается совсем просто: \(P = \text{n}\cdot \text{s}\). Каждый внутренний угол равен \(\frac{\left(\text{n}-2\right)\cdot 180^{\circ}}{\text{n}}\), а каждый внешний угол — \(\frac{360^{\circ}}{\text{n}}\). Апофема (расстояние от центра до середины стороны) находится по формуле \(\frac{\text{s}}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\), а радиус описанной окружности (от центра до вершины) — \(\frac{\text{s}}{2\,\sin\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\).
Пример расчёта
Возьмём правильный шестиугольник (n = 6) со стороной s = 10. Периметр равен \(6 \times 10 = 60\). Площадь составляет $$\tfrac{1}{4} \times 6 \times 100 \times \cot(30^{\circ}) = 150 \times \sqrt{3} \approx 259{,}81$$ квадратной единицы. Каждый внутренний угол равен \(\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}\), а каждый внешний — \(60^{\circ}\). Апофема равна \(\frac{10}{2\,\tan 30^{\circ}} \approx 8{,}66\), а радиус описанной окружности составляет ровно 10.
Частые вопросы
Подойдёт ли калькулятор для треугольника или квадрата? Да. При n = 3 получается равносторонний треугольник, а при n = 4 — квадрат.
В каких единицах получается площадь? В тех же единицах, в которых вы задали длину стороны, но возведённых в квадрат (например, см → см²).
Почему n не может быть меньше 3? Чтобы ограничить площадь, многоугольнику нужно как минимум три стороны; при меньшем числе сторон замкнутая фигура не получается.
