Калькулятор ортоцентра

Введите расчет

A — x

A — y

B — x

B — y

C — x

C — y

Результатов

Ортоцентр (H)

(1, 1)

точка пересечения трёх высот

Ортоцентр x	1
Ортоцентр y	1

Что такое ортоцентр?

Ортоцентр треугольника — это единственная точка, в которой пересекаются три его высоты. Высота — это отрезок (или прямая), проведённый из вершины перпендикулярно противоположной стороне (при необходимости продолженной). Поскольку любые две высоты уже однозначно задают эту точку, наш калькулятор находит ортоцентр, пересекая всего две из них. Ортоцентр может располагаться внутри треугольника (для остроугольного), точно в вершине (для прямоугольного) или вне треугольника (для тупоугольного).

Ортоцентр — это точка пересечения трёх высот треугольника.

Как пользоваться калькулятором

Введите координаты x и y трёх вершин A, B и C. Нажмите «Рассчитать» — и вы получите координаты ортоцентра \(H = (x, y)\). Координаты могут быть отрицательными или дробными. Если все три точки лежат на одной прямой, они не образуют треугольник, поэтому ортоцентр считается неопределённым.

Разбор формулы

Высота из вершины A перпендикулярна стороне BC, у которой направляющий вектор равен \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\). Прямую, проходящую через A перпендикулярно стороне, удобно задать через скалярное произведение: $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0.$$ Записав аналогичное уравнение для высоты из вершины B (перпендикулярной AC), мы получаем систему из двух линейных уравнений (2×2), которую решаем по правилу Крамера: $$\begin{cases} (C_x - B_x)\,x + (C_y - B_y)\,y = (C_x - B_x)A_x + (C_y - B_y)A_y \\ (C_x - A_x)\,x + (C_y - A_y)\,y = (C_x - A_x)B_x + (C_y - A_y)B_y \end{cases}$$ Запись через скалярное произведение вместо угловых коэффициентов избавляет от деления на ноль, когда сторона вертикальна, поэтому корректно обрабатывается любой допустимый треугольник.

Реклама

Пример с решением

Возьмём A(0, 0), B(4, 0), C(1, 3). Сторона BC имеет направление \((-3, 3)\), поэтому высота из A задаётся уравнением \(-3x + 3y = 0\), то есть \(y = x\). Сторона AC имеет направление \((1, 3)\), поэтому высота из B: $$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4.$$ Подставляя \(y = x\), получаем \(x + 3x = 4\), откуда \(x = 1\), \(y = 1\). Ортоцентр равен \((1, 1)\).

Построение координат вершин позволяет найти ортоцентр на плоскости xy.

Частые вопросы

Может ли ортоцентр находиться вне треугольника? Да — у тупоугольных треугольников он лежит за пределами фигуры.

Где находится ортоцентр прямоугольного треугольника? Ровно в вершине прямого угла.

А если мои точки лежат на одной прямой? Тогда они не образуют треугольник: высоты оказываются параллельными, и ортоцентр не определён.