ما هو مركز القائم (الأرتوسنتر)؟
مركز القائم في المثلث هو النقطة الوحيدة التي تتلاقى عندها ارتفاعاته الثلاثة. والارتفاع هو المستقيم المرسوم من أحد الرؤوس عموديًا على الضلع المقابل له (مع مدّه عند الحاجة). وبما أنّ ارتفاعين اثنين يكفيان لتحديد هذه النقطة، فإنّ هذه الحاسبة تعثر على مركز القائم بإيجاد تقاطع اثنين فقط من الارتفاعات. وقد يقع مركز القائم داخل المثلث (في المثلث الحاد الزوايا)، أو على أحد الرؤوس تمامًا (في المثلث القائم الزاوية)، أو خارج المثلث (في المثلث المنفرج الزاوية).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الإحداثيين x وy لكل رأس من الرؤوس الثلاثة A وB وC، ثم اضغط على زر الحساب لتحصل على إحداثيات مركز القائم \(H = (x,\ y)\). يمكن أن تكون الإحداثيات سالبة أو عشرية. وإذا كانت النقاط الثلاث واقعة على استقامة واحدة فإنها لا تشكّل مثلثًا، وعندها يُعرض مركز القائم على أنه غير معرّف.
شرح الصيغة
الارتفاع النازل من الرأس A يكون عموديًا على الضلع BC الذي يساوي متجه اتجاهه \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\). والمستقيم المار بـ A والعمودي على ضلع يُوصف بمعادلة الضرب القياسي (الجداء النقطي): $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0.$$ وبكتابة معادلة مماثلة للارتفاع النازل من الرأس B (العمودي على الضلع AC) نحصل على نظام خطي من معادلتين بمجهولين، نحلّه باستخدام قاعدة كرامر. واعتماد صيغة الضرب القياسي بدلًا من الميل يجنّبنا القسمة على صفر عندما يكون أحد الأضلاع رأسيًا، فتُعالَج بذلك جميع المثلثات الصحيحة دون استثناء.
مثال محلول
لنأخذ النقاط \(A(0,\ 0)\) وB\((4,\ 0)\) وC\((1,\ 3)\). متجه اتجاه الضلع BC هو \((-3,\ 3)\)، لذا فإنّ الارتفاع النازل من A هو \(-3x + 3y = 0\)، أي \(y = x\). ومتجه اتجاه الضلع AC هو \((1,\ 3)\)، فيكون الارتفاع النازل من B هو $$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4.$$ وبتعويض \(y = x\) نحصل على \(x + 3x = 4\)، أي \(x = 1\) وy = 1\). ومن ثَمّ يكون مركز القائم عند النقطة \((1,\ 1)\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يقع مركز القائم خارج المثلث؟ نعم — ففي المثلثات المنفرجة الزاوية يقع خارج حدود المثلث.
أين يقع مركز القائم في المثلث القائم الزاوية؟ يقع تمامًا عند رأس الزاوية القائمة.
ماذا لو كانت نقاطي واقعة على خط مستقيم واحد؟ عندئذٍ لا تشكّل مثلثًا، فتكون الارتفاعات متوازية ويصبح مركز القائم غير معرّف.
