Diklik Merkezi Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

A — x

A — y

B — x

B — y

C — x

C — y

Sonuç

Diklik merkezi (H)

(1, 1)

üç yüksekliğin kesişim noktası

Diklik merkezi x	1
Diklik merkezi y	1

Diklik merkezi nedir?

Bir üçgenin diklik merkezi, üç yüksekliğinin kesiştiği tek noktadır. Yükseklik, bir köşeden karşı kenara (gerekirse uzatılarak) dik olarak çizilen doğrudur. Herhangi iki yükseklik bu noktayı zaten belirlediğinden, bu araç diklik merkezini yalnızca iki yüksekliği kesiştirerek bulur. Diklik merkezi üçgenin içinde (dar açılı üçgen), tam bir köşede (dik üçgen) ya da üçgenin dışında (geniş açılı üçgen) yer alabilir.

Diklik merkezi, bir üçgenin üç yüksekliğinin kesiştiği noktadır.

Bu aracı nasıl kullanırsınız?

A, B ve C köşelerinin x ve y koordinatlarını girin. Hesapla düğmesine bastığınızda diklik merkezi koordinatlarını \(H = (x,\ y)\) biçiminde elde edersiniz. Koordinatlar negatif veya ondalıklı olabilir. Üç nokta aynı doğru üzerindeyse (doğrudaş) bir üçgen oluşmaz; bu durumda diklik merkezi tanımsız olarak gösterilir.

Formülün açıklaması

A köşesinden çizilen yükseklik, doğrultu vektörü \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\) olan BC kenarına diktir. Bir kenara dik olarak A'dan geçen doğru, skaler çarpım (nokta çarpımı) denklemiyle ifade edilir:

$$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0$$

Aynı türden bir denklemi B köşesinden çizilen yükseklik (AC kenarına dik) için yazdığımızda 2×2'lik bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz; bunu Cramer kuralıyla çözeriz. Eğim yerine skaler çarpım biçimini kullanmak, bir kenar dik (düşey) olduğunda sıfıra bölme hatasını önler; böylece her geçerli üçgen sorunsuz hesaplanır.

$$\begin{cases} (C_x - B_x)\,x + (C_y - B_y)\,y = (C_x - B_x)A_x + (C_y - B_y)A_y \\ (C_x - A_x)\,x + (C_y - A_y)\,y = (C_x - A_x)B_x + (C_y - A_y)B_y \end{cases}$$

\(\text{burada}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \left(A_x,\ A_y\right) \\ B &= \left(B_x,\ B_y\right) \\ C &= \left(C_x,\ C_y\right) \end{aligned} \right.\)

Reklam

Çözümlü örnek

\(A(0,\ 0)\), \(B(4,\ 0)\), \(C(1,\ 3)\) noktalarını alalım. BC kenarının doğrultusu \((-3,\ 3)\) olduğundan A'dan çizilen yükseklik \(-3x + 3y = 0\), yani \(y = x\) olur. AC kenarının doğrultusu \((1,\ 3)\) olduğundan B'den çizilen yükseklik

$$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4$$

olur. \(y = x\) yerine konulduğunda

$$x + 3x = 4,\quad x = 1,\quad y = 1$$

bulunur. Diklik merkezi \((1,\ 1)\) noktasıdır.

Köşe koordinatlarını çizmek, diklik merkezini xy düzleminde bulmanızı sağlar.

Sık sorulan sorular

Diklik merkezi üçgenin dışında olabilir mi? Evet — geniş açılı üçgenlerde üçgenin dışına düşer.

Dik üçgende diklik merkezi nerededir? Tam olarak dik açının bulunduğu köşededir.

Noktalarım aynı doğru üzerindeyse ne olur? Bir üçgen oluşturmazlar; bu durumda yükseklikler paralel olur ve diklik merkezi tanımsız kalır.