Trực tâm là gì?
Trực tâm của một tam giác là điểm duy nhất nơi ba đường cao cắt nhau. Đường cao là đoạn kẻ từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện (kéo dài cạnh nếu cần). Vì chỉ cần hai đường cao là đã xác định được giao điểm, nên máy tính này tìm trực tâm bằng cách giao nhau của hai trong ba đường cao. Trực tâm có thể nằm bên trong tam giác (tam giác nhọn), trùng ngay tại một đỉnh (tam giác vuông), hoặc nằm bên ngoài tam giác (tam giác tù).
Cách dùng máy tính
Nhập tọa độ x và y của ba đỉnh A, B và C. Bấm tính là bạn nhận được tọa độ trực tâm \(H = (x, y)\). Tọa độ có thể là số âm hoặc số thập phân. Nếu ba điểm thẳng hàng thì chúng không tạo thành tam giác, do đó trực tâm được báo là không xác định.
Giải thích công thức
Đường cao kẻ từ A vuông góc với cạnh BC, cạnh này có vectơ chỉ phương \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với một cạnh được mô tả bằng phương trình tích vô hướng \((x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0\). Viết phương trình tương tự cho đường cao kẻ từ B (vuông góc với AC), ta thu được một hệ phương trình tuyến tính 2×2, giải bằng quy tắc Cramer. Dùng dạng tích vô hướng thay vì hệ số góc giúp tránh phép chia cho 0 khi một cạnh thẳng đứng, nhờ vậy mọi tam giác hợp lệ đều xử lý được.
$$\begin{cases} (C_x - B_x)\,x + (C_y - B_y)\,y = (C_x - B_x)A_x + (C_y - B_y)A_y \\ (C_x - A_x)\,x + (C_y - A_y)\,y = (C_x - A_x)B_x + (C_y - A_y)B_y \end{cases}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \left(\text{A}_x,\ \text{A}_y\right) \\ B &= \left(\text{B}_x,\ \text{B}_y\right) \\ C &= \left(\text{C}_x,\ \text{C}_y\right) \end{aligned} \right.$$Ví dụ minh họa
Lấy \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(1, 3)\). Cạnh BC có chỉ phương \((-3, 3)\), nên đường cao từ A là \(-3x + 3y = 0\), tức là \(y = x\). Cạnh AC có chỉ phương \((1, 3)\), nên đường cao từ B là \(x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4\). Thay \(y = x\) vào ta được \(x + 3x = 4\), \(x = 1\), \(y = 1\). Vậy trực tâm là \((1, 1)\).
Câu hỏi thường gặp
Trực tâm có thể nằm ngoài tam giác không? Có — với tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác.
Trực tâm của tam giác vuông nằm ở đâu? Trùng ngay tại đỉnh góc vuông.
Nếu các điểm của tôi nằm trên một đường thẳng thì sao? Khi đó chúng không tạo thành tam giác, các đường cao song song nhau và trực tâm không xác định.
