Qu'est-ce que l'orthocentre ?
L'orthocentre d'un triangle est le point unique où se croisent ses trois hauteurs. Une hauteur est la droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé (prolongé si nécessaire). Comme deux hauteurs suffisent déjà à définir ce point, ce calculateur détermine l'orthocentre en n'intersectant que deux d'entre elles. L'orthocentre peut se situer à l'intérieur du triangle (triangle acutangle), exactement sur un sommet (triangle rectangle) ou à l'extérieur (triangle obtusangle).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les coordonnées x et y des trois sommets A, B et C. Lancez le calcul et vous obtenez les coordonnées de l'orthocentre \(H = (x, y)\). Les coordonnées peuvent être négatives ou décimales. Si les trois points sont alignés, ils ne forment pas de triangle : l'orthocentre est alors indiqué comme non défini.
La formule expliquée
La hauteur issue de A est perpendiculaire au côté BC, dont le vecteur directeur est \((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\). Une droite passant par A et perpendiculaire à un côté s'exprime par l'équation du produit scalaire $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0.$$ En écrivant le même type d'équation pour la hauteur issue de B (perpendiculaire à AC), on obtient un système linéaire 2×2, que l'on résout à l'aide de la règle de Cramer. Le recours au produit scalaire plutôt qu'aux pentes évite toute division par zéro lorsqu'un côté est vertical : tout triangle valide est ainsi pris en charge.
Exemple résolu
Prenons \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(1, 3)\). Le côté BC a pour direction \((-3, 3)\) ; la hauteur issue de A est donc \(-3x + 3y = 0\), soit \(y = x\). Le côté AC a pour direction \((1, 3)\) ; la hauteur issue de B est \(x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4\). En substituant \(y = x\), on obtient \(x + 3x = 4\), donc \(x = 1\) et \(y = 1\). L'orthocentre est \((1, 1)\).
FAQ
L'orthocentre peut-il se trouver hors du triangle ? Oui : pour les triangles obtusangles, il tombe à l'extérieur du triangle.
Où se situe l'orthocentre d'un triangle rectangle ? Exactement au sommet de l'angle droit.
Et si mes points sont alignés ? Ils ne forment pas de triangle : les hauteurs sont alors parallèles et l'orthocentre n'est pas défini.
