Qu'est-ce que la fonction de Whittaker \(M_{k,m}(z)\) ?
La fonction de Whittaker de première espèce, \(M_{k,m}(z)\), est une fonction spéciale qui résout l'équation différentielle de Whittaker : $$y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0.$$ Sa solution générale associe \(M_{k,m}(z)\) à la fonction de Whittaker de seconde espèce \(W_{k,m}(z)\). Ce calculateur ne renvoie que \(M_{k,m}(z)\), la solution régulière construite à partir de la fonction hypergéométrique confluente de Kummer. On la rencontre partout en physique mathématique, notamment dans les fonctions d'onde coulombiennes radiales et dans les problèmes de cylindre parabolique. Il s'agit de mathématiques pures, valables universellement, sans aucune hypothèse propre à une région donnée.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez trois nombres réels : les paramètres \(k\) et \(m\), ainsi que l'argument \(z\). Choisissez \(z > 0\) afin que \(z^{m+\frac{1}{2}}\) donne un résultat réel pour un \(m\) non entier. Évitez les valeurs de \(m\) qui rendent \(2m+1\) entier négatif ou nul (\(m = 0, -\frac{1}{2}, -1, \ldots\)), car cela introduit un pôle au dénominateur de la série. Le sélecteur de précision ne fait que régler le nombre de chiffres affichés ; le calcul interne, en double précision, reste fiable pour des entrées modérées (à peu près \(|z|\) jusqu'à 30 environ).
La formule expliquée
En posant \(a = m - k + \frac{1}{2}\) et \(b = 2m + 1\), la fonction s'écrit $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+\frac{1}{2}} \cdot {}_1F_1(a; b; z).$$ La série hypergéométrique confluente \({}_1F_1\) est sommée terme à terme à l'aide de la récurrence $$\text{terme}_n = \text{terme}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n},$$ en partant de \(\text{terme}_0 = 1\). On ajoute les termes jusqu'à ce qu'ils deviennent négligeables par rapport à la somme courante, avec une borne pour éviter les boucles infinies.
Exemple résolu
Prenons \(k = 2\), \(m = 3\), \(z = 0{,}5\). On obtient alors \(a = 3 - 2 + 0{,}5 = 1{,}5\) et \(b = 7\). La série \({}_1F_1(1{,}5; 7; 0{,}5)\) converge vers environ \(1{,}1160881\). Le facteur préliminaire vaut \(e^{-0{,}25} = 0{,}7788008\) multiplié par \(0{,}5^{3{,}5} = 0{,}0883883\), soit \(0{,}0688384\). En multipliant par la série, on trouve $$M_{2,3}(0{,}5) \approx 0{,}0768344.$$
FAQ
Pourquoi \(z\) doit-il être positif ? Pour un \(m + \frac{1}{2}\) non entier, le facteur \(z^{m+\frac{1}{2}}\) est multivalué ou complexe lorsque \(z \le 0\) ; obtenir un résultat réel impose donc \(z > 0\). En \(z = 0\), la fonction vaut 0 dès que \(m + \frac{1}{2} > 0\).
Que se passe-t-il si \(2m+1\) est un entier négatif ou nul ? Le symbole de Pochhammer au dénominateur s'annule, ce qui rend la série indéfinie ; le calculateur renvoie alors 0 et il faut modifier \(m\).
La série converge-t-elle toujours ? Oui, \({}_1F_1\) est entière en \(z\). Elle converge toutefois lentement pour les grandes valeurs de \(|z|\) et peut perdre en précision en simple double précision.
