Qu'est-ce que la fonction de Kummer M(a,b,z) ?
La fonction hypergéométrique confluente de première espèce, notée \(M(a,b,z)\) ou \({}_1F_1(a;b;z)\), est l'une des deux solutions indépendantes de l'équation différentielle de Kummer \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\). On la rencontre dans toute la physique et les mathématiques appliquées : en mécanique quantique (la fonction d'onde radiale de Coulomb), en probabilités (la loi du khi-deux non centrée et les lois associées), en conduction de la chaleur ou encore dans les représentations des fonctions de Bessel. Ce calculateur l'évalue pour des paramètres réels \(a\) et \(b\) et un argument réel \(z\). C'est un outil de mathématiques pures, sans aucune hypothèse régionale ni unité de mesure.
Comment l'utiliser
Saisissez le premier paramètre \(a\), le deuxième paramètre \(b\) et l'argument \(z\), puis lisez la valeur de \(M(a,b,z)\). La valeur de \(b\) ne doit être ni nulle ni un entier négatif, car ces cas annulent un dénominateur ; le calculateur signale alors une entrée invalide. Si \(a\) est un entier négatif ou nul, la série s'arrête et \(M\) se réduit à un polynôme en \(z\) : c'est un comportement attendu, et non une erreur.
La formule expliquée
La série somme les termes \((a)_n/(b)_n \cdot z^n/n!\), où le symbole de Pochhammer \((x)_n = x(x+1)\ldots(x+n-1)\).
$$M\!\left(a,\, b,\, z\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n}\,\frac{z^{\,n}}{n!}$$Plutôt que de calculer séparément les factorielles et les factorielles croissantes, le calculateur construit chaque terme à partir du précédent par la relation \(t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1}\), en partant de \(t_0 = 1\). La sommation s'arrête lorsqu'un nouveau terme devient négligeable par rapport à la somme courante (environ \(\text{1e-17}\)) ou après un nombre maximal d'itérations fixé par sécurité.
Exemple détaillé
Pour \(a = 2\), \(b = 3\), \(z = 0{,}5\) : les termes valent \(1\) ; \(0{,}33333\) ; \(0{,}0625\) ; \(0{,}0083333\) ; \(0{,}00086806\) ; \(0{,}000074405\) ; \(\ldots\) dont la somme donne $$M(2,3,0{,}5) \approx 1{,}4051145.$$
FAQ
Que vaut \(M(a,b,0)\) ? Toujours exactement \(1\), quels que soient \(a\) et \(b\), car chaque terme au-delà du premier contient un facteur \(z\).
Pourquoi \(b\) est-il restreint ? Un \(b\) nul ou entier négatif annule le dénominateur de Pochhammer \((b)_n\) : la fonction n'y est donc pas définie.
Le calcul reste-t-il précis pour de grandes valeurs de \(z\) ? La série converge pour tout \(z\) fini, mais un \(z\) positif élevé entraîne des compensations qui dégradent la précision en double précision ; gardez \(|z|\) modéré (en gros inférieur à \(50\)) pour obtenir des chiffres fiables.
