Qu'est-ce que le calculateur de pentagone ?
Cet outil détermine les principales mesures d'un pentagone régulier — un polygone à cinq côtés dont tous les côtés et tous les angles intérieurs sont égaux. À partir d'une seule donnée, la longueur du côté s, il calcule instantanément l'aire, le périmètre, l'apothème, le rayon du cercle circonscrit et la diagonale. Il fonctionne avec n'importe quelle unité (cm, m, po, pi) à condition de rester cohérent : l'aire est exprimée en unités carrées et les mesures linéaires dans l'unité que vous avez saisie.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur d'un côté du pentagone puis lancez le calcul. L'outil suppose un pentagone régulier (équilatéral et équiangle). Si votre figure est irrégulière, ces formules ne s'appliquent pas.
La formule expliquée
L'aire d'un pentagone régulier vaut $$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)}\;\text{s}^{2}$$ ce qui se simplifie en environ \(1{,}720477 \cdot s^{2}\). Le périmètre se réduit à $$P = 5s$$ L'apothème — la distance perpendiculaire du centre au milieu d'un côté — est $$a = \frac{s}{2\tan 36^{\circ}}$$ Le rayon circonscrit (du centre à un sommet) vaut $$R = \frac{s}{2\sin 36^{\circ}}$$ et la diagonale est égale à \(s\cdot\varphi\), où \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) est le nombre d'or.
Exemple concret
Pour un pentagone de côté \(s = 10\) : Aire \(= 1{,}720477 \times 100 \approx 172{,}05\) unités carrées. Périmètre \(= 5 \times 10 = 50\). Apothème \(= \frac{10}{2 \times \tan 36^{\circ}} = \frac{10}{1{,}453085} \approx 6{,}8819\). Rayon circonscrit \(\approx 8{,}5065\). Diagonale \(= 10 \times 1{,}61803 \approx 16{,}1803\).
Foire aux questions
Quel est l'angle intérieur d'un pentagone régulier ? Chaque angle intérieur mesure 108°, et la somme des angles vaut 540°.
Pourquoi la diagonale fait-elle intervenir le nombre d'or ? Dans un pentagone régulier, le rapport entre une diagonale et un côté est exactement le nombre d'or \(\varphi \approx 1{,}618\).
Cela fonctionne-t-il pour les pentagones irréguliers ? Non. Ces formules ne valent que pour les pentagones réguliers. Pour les figures irrégulières, découpez la figure en triangles et additionnez leurs aires.
