Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?
Un polygone régulier est une figure fermée dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs sont égaux. Le triangle équilatéral, le carré, le pentagone, l'hexagone et l'octogone en sont des exemples courants. Ce calculateur fonctionne pour tout polygone régulier d'au moins trois côtés : il vous donne son aire, son périmètre, ses angles intérieurs et extérieurs, son apothème (rayon inscrit) et son rayon circonscrit.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre de côtés n (3 au minimum) et la longueur d'un côté s, dans l'unité de votre choix. Les résultats reprennent la même unité : les longueurs conservent votre unité de saisie et l'aire s'exprime dans cette unité au carré. Les angles sont toujours indiqués en degrés.
Les formules expliquées
L'aire vaut $$A = \frac{1}{4}\,\text{n}\cdot \text{s}^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$ où cot désigne la cotangente et \(\pi/\text{n}\) correspond à la moitié de l'angle au centre de l'un des n triangles identiques qui composent le polygone. Le périmètre se calcule simplement par $$P = \text{n}\cdot \text{s}$$ Chaque angle intérieur est égal à \(\frac{(\text{n}-2)\cdot 180^{\circ}}{\text{n}}\), et chaque angle extérieur à \(\frac{360^{\circ}}{\text{n}}\). L'apothème (distance du centre au milieu d'un côté) vaut \(\frac{\text{s}}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\), tandis que le rayon circonscrit (du centre à un sommet) vaut \(\frac{\text{s}}{2\,\sin\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\).
Exemple concret
Prenons un hexagone régulier (n = 6) dont le côté mesure s = 10 : le périmètre est de \(6 \times 10 = 60\). L'aire vaut $$\frac{1}{4} \times 6 \times 100 \times \cot(30^{\circ}) = 150 \times \sqrt{3} \approx 259{,}81$$ unités carrées. Chaque angle intérieur mesure \(\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}\), et chaque angle extérieur \(60^{\circ}\). L'apothème est de \(\frac{10}{2\,\tan 30^{\circ}} \approx 8{,}66\) et le rayon circonscrit est exactement de 10.
FAQ
Fonctionne-t-il pour un triangle ou un carré ? Oui. Avec n = 3, vous obtenez un triangle équilatéral ; avec n = 4, un carré.
Quelle est l'unité de l'aire ? Celle dans laquelle vous saisissez la longueur du côté, mais au carré (par exemple cm → cm²).
Pourquoi n doit-il être au moins égal à 3 ? Un polygone a besoin d'au moins trois côtés pour délimiter une surface ; en deçà, la figure ne se referme pas.
